7/10 连续非负整数亦或和（博弈论）

我们要考虑连续非负整数的异或和问题 

  记 f(x, y) 为x到y的所有整数的异或值。 

  f[1,n]=f[0,n];

  当n为2^k-1(2的K次方减一)时;

  0 到 2^k-1 共2^k个数 等于∑C（n，i）

  可以看做在k个位置中放入i个0，最后求和

  同时可以看做在空格位置中放入i个1；最后求和

  即在每一位上1个0的个数都相等，每个位上有2^(k-1)个1,当k>=2时 1的个数为偶数;

  而我们已经知道偶数个1的异或和为0

所以 f[0, 2^k - 1] = 0 (k >= 2)

 

  对 f[0, n]  (n>=4) 设n的最高位1是在第k位(k >= 2)，

f[0, n] = f[0, 2^k - 1] xor f[2^k, n] = f[2^k, n]

对2^k到n这n+1-2^k个数，最高位(第k位)共有 m = n+1-2^k 个1,

 

   2^k总是偶数,因此,当n为奇数时，m是偶数，f[0, n] = f[2^k, n] = f[0, n - 2^k]

当n为奇数(n - 2^k)总是奇数 ，所以：f[0,n] = f[0,n-2^k-2^(k-1)...-2^2](只到3是因为k>=2)

此时只剩下两位是我们需要的 我们可以用（n & 3）很快得到后两位

由于n是奇数 所以（n & 3）只可能得到 1 或 3；

1对应 二进制数 （01）所以是奇数个1  此时f [0,n]=1;

3对应 二进制数 （11） 此时f[0,n]=0;

 

  当n为偶数时，m是奇数，因而 f[0, n] = f[2^k, n] = f[0, n - 2^k]  xor  2^k

可得：f[0, n] =  f(0, n & 3) xor 2^k xor n[k]*2^(k-1) xor ....n[2]*2^2 n[k] 为 n的二进制数的第k位；

很明显 当n为偶数时 f[0,n]的二进制从最高位到第3位（如果不止3位） 跟n的二进制数从高位到第三位 相同；

此时只需要 判断 第二位

n & 3=0对应后二位为（00） 此时 f[0,n]=n;

n & 3=2对应后二位为（10） 此时 f[0,n]=n+1;

 

综上所述：

                               n        n % 4 == 0

  f[1, n]  =  f[0, n]  = 1        n % 4 == 1

                               n +1   n % 4 == 2

                               0        n % 4 == 3

  f[x,y] = f[0,y] xor f[0,x-1] .(x>0)

//读入n，表示有从物品数分别1到n的n堆物品，假设n个数存在数组f[]中
int xor_n(int n)//从1到n的异或和
{
     int t = n & 3;
     if (t & 1) return t / 2 ^ 1;
     return t / 2 ^ n;
}
int Nimm_Game(int n)//有必胜策略返回1
{
    int flag=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    flag^=xor_n(f[i]);
    if(flag) return 1;
    return 0;
}

码是从Angelkitty的博客上扒下来的 万分感谢！！！