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  • LOJ2542. 「PKUWC2018」随机游走【概率期望DP+Min-Max容斥(最值反演)】

    题面


    思路

    我们可以把到每个点的期望步数算出来取max?但是直接算显然是不行的

    那就可以用Min-Max来容斥一下

    (g_{s})是从x到s中任意一个点的最小步数

    (f_{s})是从x到s中任意一个点的最大步数

    然后就可以的得到

    (f_{s}=sum_{tsubseteq s}(-1)^{|t|+1}g_t)

    然后考虑g怎么求

    (p_i)是i点到任意一个子集中的点的最小步数

    (p_u=frac{1}{du_u}(1+p_{fa_u})+frac{1}{du_u}sum_{vin child_u}(p_v+1))

    然后我们令(p_u=a_up_{fa_u}+b_u)

    很显然有(p_u=frac{1}{du_u}sum(a_vf_u+b_v+1)+frac{1}{du_u}(p_{fa_u}))

    然后移项可以得到(a_u=frac{1}{du_u-sum a_v},b_u=frac{sum(b_v+1)+1}{du_u-sum a_v})

    然后因为x是根没有父亲,所以(g_{s}=(bitcnt(s) & 1)?b_u:-b_u)

    然后就可以用子集前缀和进行累加了

    最后直接输出答案就可以了


    #include <bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    
    const int Mod = 998244353;
    const int N = 20;
    
    int n, m, x;
    int a[N], b[N], du[N];
    int f[1 << N];
    vector<int> g[N];
    
    int main() {
    #ifdef dream_maker
      freopen("input.txt", "r", stdin);
    #endif
      function<int(int a, int b)> add = [&](int a, int b) {
        return (a += b) >= Mod ? a - Mod : a;
      };
      
      function<int(int a, int b)> sub = [&](int a, int b) {
        return (a -= b) < 0 ? a + Mod : a;
      };
      
      function<int(int a, int b)> mul = [&](int a, int b) {
        return (long long) a * b % Mod;
      };
      
      function<int(int a, int b)> fast_pow = [&](int a, int b) {
        int res = 1;
        for (; b; b >>= 1, a = mul(a, a))
          if (b & 1) res = mul(res, a);
        return res;
      };
      
      function<int(int a)> bitcnt = [&](int a) {
        int res = 0;
        for (; a; a >>= 1)
          if (a & 1) ++res;
        return res;
      };
      
      function<void(int u, int fa, int s)> dfs = [&](int u, int fa, int s) {
        if ((s >> (u - 1)) & 1) return;
        a[u] = du[u], b[u] = (u == x) ? 0 : 1; // x不用向fa走的1 
        for (auto v : g[u]) {
          if (v == fa) continue;
          dfs(v, u, s);
          a[u] = sub(a[u], a[v]);
          b[u] = add(b[u], b[v] + 1);
        }
        a[u] = fast_pow(a[u], Mod - 2);
        b[u] = mul(b[u], a[u]);
      };
      
      scanf("%d %d %d", &n, &m, &x);
      for (int i = 1; i < n; i++) {
        int u, v;
        scanf("%d %d", &u, &v);
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
        ++du[u], ++du[v];
      }
      int up = (1 << n) - 1;
      for (int s = 1; s <= up; s++) {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
          a[i] = b[i] = 0;
        dfs(x, 0, s);
        f[s] = (bitcnt(s) & 1) ? b[x] : (Mod - b[x]) % Mod;
      }
      f[0] = 0;
      for (int i = 1; i <= n; i++) { // 这个循环在外面 
        for (int s = 1; s <= up; s++) {
          if ((s >> (i - 1)) & 1) {
            f[s] = add(f[s], f[s ^ (1 << (i - 1))]);
          }
        }
      }
      while (m--) {
        int num, cur, s = 0;
        scanf("%d", &num);
        while (num--) {
          scanf("%d", &cur);
          s |= 1 << (cur - 1);
        }
        printf("%d
    ", f[s]);
      }
      return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/dream-maker-yk/p/10109021.html
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