题目大意
一棵树,上面的每个点都有一定概率成为起点和终点
从起点出发,随机游走,并按照下列规则统计count:
DFS(x)
if x == exit vertex then
finish search
flag[x] <- TRUE
random shuffle the vertices' order in V(x) // here all permutations have equal probability to be chosen
for i <- 1 to length[V] do
if flag[V[i]] = FALSE then
count++;
DFS(y);
count++;
求count的期望
思路
首先来证明一个东西:
对于每个节点u,如果这个节点是终点,那么他的贡献是
[sum_{(u,v)in E}siz_v*sump_v
]
(sump_v)是子树内每个节点作为起始节点的概率和
首先我们把一个以u为根子树拿出来,对于其中的每一个点v
如果起始节点s在v的子树内,v一定会被经过1次,贡献(p_s)
如果s不在v的子树内,v有(frac{1}{2})的概率会被经过,贡献(p_s*2*frac{1}{2}=p_s)
不被经过的贡献是(0)
然后来证为为什么有(frac{1}{2})的概率被经过
从s开始进入每个子树,要么遍历完,要么停下来
所以可以认为任何一个子树在停下来之前被访问的概率都是(frac{1}{2})
然后这题做完了。。。泪奔ing
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double db;
const int N = 1e5 + 10;
int n, siz[N];
vector<int> g[N];
db p[N], q[N], sump = 0, sumq = 0, ans;
void dfs(int u, int fa) {
siz[u] = 1;
for (auto v : g[u]) {
if (v == fa) continue;
dfs(v, u);
siz[u] += siz[v];
p[u] += p[v];
ans += q[u] * siz[v] * p[v];
}
ans += q[u] * (n - siz[u]) * (sump - p[u]);
}
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i < n; i++) {
int u, v;
scanf("%d %d", &u, &v);
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%lf %lf", &p[i], &q[i]);
sump += p[i], sumq += q[i];
}
dfs(1, 0);
printf("%.15lf", ans / (sump * sumq));
return 0;
}