【数据结构】平衡二叉搜索树 Balanced Binary Search Tree

目录

• 平衡二叉搜索树
  • AVL树
  • 平衡因子
    • 平衡二叉树
    • 不平衡的二叉树
    • 旋转
    • BBST插入e 递归算法

平衡二叉搜索树

平衡二叉搜索树（英语：Balanced Binary Search Tree）是一种结构平衡的[二叉搜索树] ，它是一种每个节点的左右两子[树] 高度差都不超过一的[二叉树] 。它能在O(logn)内完成插入、查找和删除操作，最早被发明的平衡二叉搜索树为[AVL树] 。

之前的BST已经可以解决很多查找问题，而且时间复杂度在O(logN),但是如果出现单支树的情况，时间复杂度就会退化到O(N),也就是类似于单链表的查询。

AVL树

AVL树是最早被发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中，任一节点对应的两棵子树的最大高度差为1，因此它也被称为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下的时间复杂度都是O(logn)。增加和删除元素的操作则可能需要借由一次或多次树旋转，以实现树的重新平衡。

平衡因子

它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。若将二叉树上结点的平衡因子BF(Balance Factor)定义为LH-RH，那么BF只能是-1,0,1。只要|BF|>=1，则二叉树就是不平衡的。

平衡二叉树

不平衡的二叉树

旋转

OK，现在我们一眼可以看出哪种是平衡，哪种是不平衡的。如果不平衡的二叉树，就需要做旋转

哪些操作会导致原来平衡的二叉树，变得不平衡？插入一个新的节点，或者删除一个节点，都有可能导致二叉树的平衡结构被破坏。此时就会需要通过自身旋转，来修复。

假设平衡因子是左子树的高度减去右子树的高度所得到的值，又假设由于在二叉排序树上插入节点而失去平衡的最小子树根节点的指针为a（即a是离插入点最近，且平衡因子绝对值超过1的祖先节点），则失去平衡后进行的规律可归纳为下列四种情况：

1. 单向右旋平衡处理LL：由于在a的左子树根节点的左子树上插入节点，a的平衡因子由1增至2，致使以*a为根的子树失去平衡，则需进行一次右旋转操作；
   

2. 单向左旋平衡处理RR：由于在a的右子树根节点的右子树上插入节点，a的平衡因子由-1变为-2，致使以*a为根的子树失去平衡，则需进行一次左旋转操作；

3. 双向旋转（先左后右）平衡处理LR：由于在a的左子树根节点的右子树上插入节点，a的平衡因子由1增至2，致使以*a为根的子树失去平衡，则需进行两次旋转（先左旋后右旋）操作。
   

4. 双向旋转（先右后左）平衡处理RL：由于在a的右子树根节点的左子树上插入节点，a的平衡因子由-1变为-2，致使以*a为根的子树失去平衡，则需进行两次旋转（先右旋后左旋）操作。
   

BBST插入e 递归算法

在平衡的二叉排序树BBST (Balancing Binary Search Tree)上插入一个新的数据元素e的递归算法可描述如下：

1. 若BBST为空树，则插入一个数据元素为e的新节点作为BBST的根节点，树的深度增1；
2. 若e的关键字和BBST的根节点的关键字相等，则不进行；
3. 若e的关键字小于BBST的根节点的关键字，而且在BBST的左子树中不存在和e有相同关键字的节点，则将e插入在BBST的左子树上，并且当插入之后的左子树深度增加（+1）时，分别就下列不同情况处理之：
   1. BBST的根节点的平衡因子为-1（右子树的深度大于左子树的深度，则将根节点的平衡因子更改为0，BBST的深度不变；
   2. BBST的根节点的平衡因子为0（左、右子树的深度相等）：则将根节点的平衡因子更改为1，BBST的深度增1；
   3. BBST的根节点的平衡因子为1（左子树的深度大于右子树的深度）：则若BBST的左子树根节点的平衡因子为1：则需进行单向右旋平衡处理，并且在右旋处理之后，将根节点和其右子树根节点的平衡因子更改为0，树的深度不变；
4. 若e的关键字大于BBST的根节点的关键字，而且在BBST的右子树中不存在和e有相同关键字的节点，则将e插入在BBST的右子树上，并且当插入之后的右子树深度增加（+1）时，分别就不同情况处理之。

本文是作者闲来无事，写的水文，如果想要获得更详细的请参考WIKI和数据结构相关书籍。