luogu3935 Calculating

标题也许叫整除分块吧

求(1)到(n)因数的个数(sum_{i=1}^n(sum_{d|n}1))

范围(1e14)时限3s

(nsqrt{n})的暴力铁定gg

分开考虑

(1)到(n)中含有(1)因数的个数有(n/1)个

含有2因数的个数有(n/2)个**

······

含有n因数的个数有(n/n)个

问题就转化为求(sum_{i=1}^{n}[frac{n}{i}])

然后我们就可以把(O(nsqrt{n}))的暴力转化为(O(n))了

可还是过不了&1e14的数据&

我们发现，我们求得(frac{n}{i})在一段区间内是连续的

而且呈现单调递减，这样我们就可以开心的套用二分啦

那到底有多少段连续的区间

把i分开考虑

1到(sqrt{n})之内,if都不同撑死有(sqrt{n})段

(sqrt{n})到n之内,求(frac{n}{i})连续的一段,取值范围为1到(sqrt{n})之内,撑死也有(sqrt{n})个

区间个数是(sqrt{n})级别的，二分是(log)级别的

所以复杂度为(O(sqrt{n}logn))

一直以为这是根号的%>_<%

参见牛客练习赛25(1e9)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long ans;
int l,n;
int main() {
	int q;
	cin>>q;
	while(q--) {
		cin>>n;
		l=1;
		ans=0;
		for(int i=1; i<=n; ++i) {
			int r=n;
			int mid=(l+r)>>1;
			while(n/l!=n/r) {
				mid=(l+r)>>1;
				r=mid;
			}
			ans+=n/l*(r-l+1);
			if(r==n) break;
			l=r+1;
		}
		cout<<ans<<"
";
	}
	return 0;
}

直到我遇到了这个题luogu3935以及评测80sTLE的惨痛

才发现我是个zz诶

(i)	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)	(9)	(10)	(11)	(12)
(n/i)	(12)	(6)	(4)	(3)	(2)	(2)	(1)	(1)	(1)	(1)	(1)	(1)

当我们知道(l)的时候，也就是一段的开头，如何快速找到我们要的r呢
(n/l)是(n)中含有(t=n/l)块完整的(l)
那么(n/t)便是有(t)块最大的数，便是我们要求的(r)
所以(r=n/(n/l))
所以我们求块的时间由二分的(O(logn))变为了(O(1))
复杂度为(O(sqrt{n}))

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod=998244353;
ll solve(ll n)
{
    ll ans=0;
    for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1)
    {
        r=n/(n/l);
        ans+=(r-l+1)%mod*(n/l)%mod;
        ans%=mod;
    }
    return ans;
}
int main() 
{
    ll x,y;
    cin>>x>>y;
    cout<<((solve(y)-solve(x-1))%mod+mod)%mod;
    return 0;
}

http://www.cnblogs.com/1000Suns/p/9193713.html