DP：斐波纳契数

题目：输出第 n 个斐波纳契数（Fibonacci）

方法一、简单递归

这个就不说了，小n怡情，大n伤身啊……当n=40的时候，就明显感觉到卡了，不是一般的慢。

//输出第n个 Fibonacci 数 
#include <iostream>
using namespace std;

long long Fibonacci(int n)
{    
    if(n<=2) return 1;    
    else return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
}


int main()
{
    int n;
    while(cin>>n, n) 
        cout<<Fibonacci(n)<<endl;
        
    return 0;
}
    

方案二、动态规划

//输出第n个 Fibonacci 数 
#include <iostream>
#include <cstring>
#define MAXN 300
using namespace std;

long long F[MAXN];
int i;
long long Fibonacci(int n)
{    
    i++;
    F[0]=1;
    F[1]=1;
    if(n<=2) return 1;    
    else
    {
        if(F[n]==0)    // !!!!!!!!!!
            F[n]=Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
        return F[n];
    }
}


int main()
{
    int n;
    while(cin>>n, n) 
    {
        i=0;
        memset(F,0,sizeof(F));
        cout<<Fibonacci(n)<<" ";
        cout<<"调用"<<i<<"次"<<endl;
        
    }
    return 0;
}
    

【以上程序可以优化：既然只要求输出第n个斐波纳契数f(n)，则只需用两个变量记录f(n-1)和f(n-2)，不用开数组将整个1到n的斐波纳契数列都记录下来。】

最开始忘了 if(F[n]==0) 这个判断（17行），导致了很多次的重复计算——和递归算法一样多的次数。

以下是程序运行截图，上图为正确程序，下图为漏掉了 if(F[n]==0) 这个判断的错误程序。可以看出运行时间上的巨大差距：

当输入n=100时，错误的程序很长很长一段时间内都还没计算出来。

方法三、for循环 + 数组

速度也非常快。

//输出第n个 Fibonacci 数 
#include <iostream>
#include <cstring>
#define MAXN 300
using namespace std;

long long F[MAXN];
long long Fibonacci(int n)
{    
    F[0]=1;
    F[1]=1;
    if(n<=2) return 1;    
    else
    {
        for(int i=2; i<n; ++i)
            F[i] = F[i-1] + F[i-2];
        return F[n-1];
    }
}


int main()
{
    int n;
    while(cin>>n, n) 
    {
        memset(F,0,sizeof(F));
        cout<<Fibonacci(n)<<endl;
    }
    return 0;
}