一. 预备知识
1. 流网络：
有向图G=(V,E)满足（1）存在无入边的源结点s（2）存在无出边的目标点t（3）每条边e都有一个非负容量ci
2. 流
流网络中从s-t的流是一个实值函数 f ，满足
3. 余图（残存网络）
对于流网络G，边容量为c，流为f，则定义残存容量cf 为
即，对每一条边，正向记为：c - f，逆向记为：f
图（a）为一个流网络，图（b）展示了它的余图
4. 增广路径
在余图中找到一条s~>t最大流量的路径，该路径为增广路径
上图（b）中s-v2-v3-t，容量为4的路径即为增广路径
5. 流网络的切割
流网络G中的一个切割（S，T）将结点集合V划分为S和T=V-S两个集合，满足s€S，t€T。
- 切割的净流量：
- 切割的容量：
推论：流和割弱对偶关系
给定流网络 G＝(V,E),s是源,t是汇. 设f是G上的 一个流，S,T是G的任意一个切割，则f(S,T)=| f |.
给定流网络 G＝(V,E). 设f是G上的一个流，S,T 是G的任意一个割，则| f | <= c(S,T)
二.最大流算法（基本的Ford-fulkerson方法）
1. 思路：
（1）初始化：对所有的e，f( e ) = 0
（2）while迭代：
只要G的余图中存在增广路径P，沿着P更新 流 和 余图
直到不存在P
（3） 得到最大流
2. 定理
3. 算法正确性证明
（1）可终止性：不妨将容量放缩，乘一个系数使之成为整数，则每次流至少增加整数1，则可终止
（2）时间复杂度：O（mC），m：边的数量，C：最大流 | f |。
（3）正确性：
设FF算法在流 f 上停止
则，不存在s - t 的路径P，即s 与 t不连通
设：与s连通的点集为S，
则（S，V-S）是G的一个切割
对任意的u€S,v€V-S,f(u,v) = c(u,v)
则| f | = c（S，T）
而| f | <= c（S，T）
则f是最大流。
4. 算法改进：
--算法优劣主要取决于寻找增广路径的时间复杂度
