最长公共子序列问题

最长公共子序列问题：
   给定两个序列 X = {x1, x2, ......, xm } 和 Y = {y1, y2, ......, yn }，找出 X 和 Y 的最长公共子序列。
一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干个元素后得到的序列。给定两个序列 X 和 Y ，当另一序列 Z 既是 X 的子序列又是 Y 的子序列时，称 Z 是序列 X 和 Y 的公共子序列。
例如，若 X = {A， B， C， B， D， A， B }， Y = {B， D， C， A， B， A }，
序列{B， C， A }是 X 和 Y 的一个公共子序列，序列{B， C， B， A }也是 X 和 Y 的一个公共子序列，且为最长公共子序列。

最长公共子序列问题具有最优子结构性质。

设序列 X = {x1, x2, ......, xm } 和 Y = {y1, y2, ......, yn }的最长公共子序列为 Z = {z1, z2, ......, zk}
则（1） 若 xm = yn ，则 zk = xm = yn ，且 Zk-1 是 Xm-1 和 Yn-1 的最长公共子序列。
（2） 若 xm != yn 且 zk != xm ，则 Z 是 Xm-1 和 Y 的最长公共子序列。
（3） 若 xm != yn 且 zk != yn ，则 Z 是 X 和 Yn-1 的最长公共子序列。
其中:
Xm-1 = {x1, x2, ......, xm-1 }； Yn-1 = {y1, y2, ......, yn-1}； Zk-1 = {z1, z2, ......, zk-1}。

引进一个二维数组C，用C[i,j]记录X与Y的LCS的长度,如果我们是自底向上进行递推计算，那么在计算C[i,j]之前，
C[i-1,j-1], C[i-1,j]与C[i,j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i]=Y[j]还是X[i]≠Y[j]，就可以计算出C[i,j]：

若X[i]=Y[j]，则执行C[i,j]=C[i-1,j-1]+1；若X[i]≠Y[j]，则根据：

C[i-1,j]≥C[i,j-1]，则C[i,j]取C[i-1,j]；否则C[i,j]取C[i,j-1]。

为了构造出LCS，使用一个m×n的二维数组b，b[i,j]记录C[i,j]是通过哪一个子问题的值求得的,以决定搜索的方向：
若X[i]=Y[j]，则b[i,j]中记入“1”；

若C[i-1,j]≥C[i,j-1]，则b[i,j]中记入“0”；

若C[i-1,j] < C[i,j-1]，则b[i,j]中记入“-1”；
为节省空间，数组b亦可不用，直接根据X[i]=Y[j]还是X[i]≠Y[j]以及C[i,j-1]，C[i-1,j]来找出搜索方向.

import java.util.Random;
public class LCS {
    public static void main(String[] args) {
        //设置字符串长度
        int substringLength1 = 100;
        int substringLength2 = 100;
        // 随机生成字符串
        String x = GetRandomStrings(substringLength1);
        String y = GetRandomStrings(substringLength2);
        Long startTime = System.nanoTime();
        // 构造二维数组记录子问题x[i]和y[i]的LCS的长度
        int[][] opt = new int[substringLength1 + 1][substringLength2 + 1];
        // 动态规划计算所有子问题
        for (int i = substringLength1 - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = substringLength2 - 1; j >= 0; j--) {
                if (x.charAt(i) == y.charAt(j))
                    opt[i][j] = opt[i + 1][j + 1] + 1;
                else
                    opt[i][j] = Math.max(opt[i + 1][j], opt[i][j + 1]);
            }
        }
        System.out.println("substring1:"+x);
        System.out.println("substring2:"+y);
        System.out.print("LCS:");
        int i = 0, j = 0;
        while (i < substringLength1 && j < substringLength2) {
            if (x.charAt(i) == y.charAt(j)) {
                System.out.print(x.charAt(i));
                i++;
                j++;
            } else if (opt[i + 1][j] >= opt[i][j + 1])
                i++;
            else
                j++;
        }
        Long endTime = System.nanoTime();
        System.out.println(" Totle time is " + (endTime - startTime) + " ns");
    }
    //取得定长随机字符串
    public static String GetRandomStrings(int length) {
        StringBuffer buffer = new StringBuffer("abcdefghijklmnopqrstuvwxyz");
        StringBuffer sb = new StringBuffer();
        Random r = new Random();
        int range = buffer.length();
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            sb.append(buffer.charAt(r.nextInt(range)));
        }
        return sb.toString();
    }
}