乘法逆元

定义

　　若在mod p意义下，对于一个整数a，有ax≡1 (mod p)，那么这个整数x即为a的乘法逆元，同时a也为x的乘法逆元。

求解方法

• 费马小定理

　　　　当a，p互质并且p为质数时，满足a^p-1≡1（mod p）

　　　　证明：

　　　　因为

　　　　　　ax≡1（mod p）

　　　　　　a^p-1≡1（mod p）

　　　　根据同余的性质，所以

　　　　　　ax≡a^p-1（mod p）

　　　　　　x≡a^p-2（mod p）

　　　　即，a对p的乘法逆元为a^p-2

　　　　证毕

　　　　所以，只用打一个快速幂就可以啦:-D

　　　　但要注意的是此方法限制了p只能为质数

• 解不定方程

　　　　首先先说线性同余方程

　　　　给定整数a，b，p，求解一个整数x满足ax≡b (mod p)，或者给出无解。

　　　　因为未知数指数为1，所以称为线性同余方程

　　　　ax≡b (mod p)等价于ax-b是p的倍数

　　　　设y为倍数，那么ax-b=py，移项得：ax-py=b

　　　　又因为y可以为负数，所以改写为ax+py=b

　　　　求解x，我们只用解不定方程即可

　　　　此方程当且仅当gcd（a，p）整除b的时候有整数解

　　　　具体地讲，求a对p的逆元x，因为x满足ax≡1 (mod p)

　　　　把它化成不定方程的形式为ax+py=1

　　　　当且仅当gcd（a，p）=1的时候有整数解

　　　　所以此时不必保证p一定为质数，只用保证a，p互质即可

　　　　可以利用扩展欧几里得算法求解x

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int a,b,p;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){//扩欧
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
    }else{
        exgcd(b,a%b,x,y);
        int t=x;
        x=y;
        y=t-a/b*y;
    }
}
int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main(){
    cin>>a>>b>>p;
    int x,y;
    exgcd(a,p,x,y);
        if(b%gcd(a,p)==0){
             cout<<(x%p+p)%p<<endl;
        }else{
             cout<<"no solution";  
        }   
    return 0;
}

• 线性递推

　　　　现欲求a对p的逆元x（x=a^-1）

　　　　设p=ak+r（1<r<i<p） k就是p/a的商（可以表示为⌊p/a⌋） r是余数

　　　　将这个式子转化为同余式就变成了ak+r≡0 (mod p)

　　　　同时乘a^-1r^-1得，r^-1k+a^-1≡0 (mod p)（a^-1后文用x代替）

　　　　再根据同余的同加性得，x≡-r^-1k (mod p)

　　 　　所以 x≡-⌊p/a⌋（p%a)^-1 (mod p)

　　　　再进一步即可化为 x=(p-⌊p/a⌋)（p%a)^-1 (mod p)

　　　　于是，我们就可以愉快的用递归的方法求解a的逆元啦

　　　　大家可能已经体会到了，这种方法在求一串连续的数的逆元时会比前面的方法快很多

　　　　下面就举个栗子：[模板]乘法逆元

　　　　此题就是求1~n中所有数的逆元 直接用线性递推的方法就好

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,p;
const int maxn=3e6+5;
ll inv[maxn];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&p);
    inv[1]=1;
    printf("1
");
    for(int i=2;i<=n;i++){
        inv[i]=(ll)(p-p/i)*inv[p%i]%p;
        printf("%d
",inv[i]);
    }
    return 0;
}

【模板】乘法逆【模板】乘

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