BZOJ_2844 albus就是要第一个出场 【线性基】

一、题目

　　albus就是要第一个出场

二、分析

　　非常有助于理解线性基的一题。

　　构造线性基$B$后，如果$|A| > |B|$，那么就意味着有些数可以由$B$中的数异或出来，而多的数可以取或者不取，相当于每多一个数，那么线性基能生成的数的子集的种类就可以乘以$2$，最终就是乘以$2^{|A|-|B|}$。

　　所以对于给定的$Q$，要确定它是由哪些位置的线性基中的数生成的，然后确定它在不重复序列中的位置，然后再乘以$2^{|A|-|B|}$，最终还需要$+1$，因为前面求的其实是不包含这个数的子集总个数。

三、AC代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define ll long long
#define Min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
const int MAXN = 1e5 + 13;
const int MAXL = 30;
const int mod = 10086;
int base[MAXL + 2];

int Pow(int a, int b)
{
    int ans = 1;
    while(b) {
        if(b & 1)   ans = ans * a % mod;
        b >>= 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}


int main()
{
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
    //freopen("out.txt", "w", stdout);
    int n, a, cnt = 0, q;
    scanf("%d", &n);
    memset(base, 0, sizeof(base));
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &a);
        for(int j = MAXL; j >= 0; j--) {
            if(a & (1<<j)) {
                if(base[j])
                    a ^= base[j];
                else {
                    base[j] = a;
                    for(int k = j - 1; k >= 0; k--) {
                        if(base[j] & (1<<k) )
                            base[j] ^= base[k];
                    }
                    for(int k = j + 1; k <= MAXL; k++) {
                        if(base[k] & (1<<j) )
                            base[k] ^= base[j];
                    }
                    cnt++;
                    break;
                }
            }
        }
    }
    scanf("%d", &q);
    vector<int> pos;
    int p = 0, res = 0;
    for(int i = 0; i <= MAXL; i++) {
        if(base[i]) pos.push_back(i);
    }   
    for(int i = 0; i < pos.size(); i++) {
        if(q>>pos[i] & 1) {
            res += (1<<i);
        }
    }
    printf("%d
", (res % mod * Pow(2, n - cnt) % mod + 1)%mod );
    return 0;
}