题解 CF1349B Orac and Medians

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我们可以把序列中的数，分为：小于(k)的，等于(k)的，和大于(k)的，三类。

首先，如果等于(k)的数数量为(0)，则答案一定是( ext{no})。因为中位数只会在原有的数中产生，不会凭空冒出来一个没有出现过的值。

我们强行认为，我们的最后一次操作，是对整个序列求中位数（也就是操作区间为([l=1,r=n])）。之所以可以这样“强行认为”，是因为即使你已经用别的方法把序列变成了(a_1=a_2=dots=a_n=k)，再来一次这样的最后操作也不会影响答案。

于是，钦定了最后一次操作是对整个序列求中位数后，我们的问题转化为：要使得序列里所有数，排好序后，中间位置的值刚好是(k)。

考虑初始时的序列。如果（排好序后）中间位置已经是(k)，则不用再操作了。否则，会有两种情况：

• (>k)的数太多了。也就是说现在在中间位置上的，是一个(>k)的数。
• (<k)的数太多了。也就是说现在在中间位置上的，是一个(<k)的数。

对于第一种情况。首先，序列里一定不全是(>k)的数（因为通过特判，我们保证了序列里至少有一个(=k)的数）。那么，就一定存在一对相邻的数，满足一个(>k)，另一个(leq k)。我们每次对这样一对相邻的数操作，就能把那个(>k)的数换成(leq k)的数，也就是每次操作能使(>k)的数数量恰好减少(1)。那么，通过若干次操作，就一定能让整个序列（排好序后）中间位置上的值刚好是(k)。因此，第一种情况答案一定是( ext{yes})。

对于第二种情况。我们要想办法通过一些操作将其转化为第一种情况。也就是说，要尽量把(<k)的数变成(geq k)的数。发现每次操作，需要区间里(geq k)的数的数量严格大于区间里(<k)的数的数量，我们才能把(<k)的数同化（变成(geq k)的数）。那么，用和上面一样的方法，每次合并相邻两个数，就不行了。考虑如果序列里存在连续的长度至少为(2)的一段数，满足他们全部(geq k)，则可以从这一段数出发，不断把两侧的数同化（变成(geq k)的）。于是问题转化为如何使序列里至少有一段长度(geq 2)的全部(geq k)的数。

考虑求一个数组(f[i])，表示(1dots i)中，(geq k)的数的数量减去(<k)的数的数量的差。如果能找到一对((i,j))，满足(i-jgeq 2)且(f[i]-f[j]>0)（也就是说区间([j+1,i])中(geq k)的数量严格大于(<k)的数量），那么，可以通过一次操作使得([j+1,i])中所有数全部(geq k)。这样就得到了上一段所说的：长度(geq 2)的，所有数都(geq k)的区间。于是从这个区间出发，可以把更多的数变成(geq k)的数，这又转化为了一定有解的第一种情况。所以，在第二种情况下，只要找到了这样的((i,j))，则答案一定是( ext{yes})，否则答案一定是( ext{no})。找((i,j))，只需要枚举(i)，维护(jin [1dots i-2])中所有(f[j])的最小值即可。

时间复杂度(O(n))。

参考代码：

//problem:CF1349B
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define pb push_back
#define mk make_pair
#define lob lower_bound
#define upb upper_bound
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())

typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;

const int MAXN=1e5;
int n,K,a[MAXN+5],f[MAXN+5];

int main() {
	int T;cin>>T;while(T--){
		cin>>n>>K;
		int cntgreater=0,cntK=0;
		for(int i=1;i<=n;++i){
			cin>>a[i];
			if(a[i]==K)cntK++;
			else if(a[i]>K)cntgreater++;
		}
		if(!cntK){
			cout<<"no"<<endl;continue;
		}
		if(cntK+cntgreater>=n/2+1){
			cout<<"yes"<<endl;continue;
		}
		int mn=n;
		bool yes=false;
		for(int i=1;i<=n;++i){
			f[i]=f[i-1];
			if(a[i]>=K)f[i]++;
			else f[i]--;
			if(f[i]-mn>0){
				yes=true;
				break;
			}
			mn=min(mn,f[i-1]);
		}
		if(yes)cout<<"yes"<<endl;
		else cout<<"no"<<endl;
	}
	return 0;
}