线性变换是线性代数的核心概念，包含的内容和结论十分丰富。之前的讨论其实已经比较完备了，但这里我还是想把它的主要脉络再梳理一遍，然后再补充一些重要的问题和结论。
1. 线性变换和不变子空间
1.1 线性变换
线性变换(mathscr{A}alpha)（或线性映射）的概念自无需多说，它是线性空间(V)之间的一种映射关系。而映射最重要的概念就是象和原象，尤其是变换的象(mathscr{A}V)与核( ext{Ker}mathscr{A})，通过关系式（1）搭建起了变换(mathscr{A})的基本机构。它直观地描述了线性变换在维度上的意义，你可以轻松说出(V,\, ext{Ker}mathscr{A},\,mathscr{A}V)三者之间的关系。更甚地，可以把(V)表示成某个直交和( ext{Ker}mathscr{A}oplus U)，而这里(U)必定与(mathscr{A}V)同构。这个简单的关系很容易被忽略，但它在复合变换的论证中起到了核心的作用，比如关于复合变换的秩（象的维数）的估算，再比如后面关于幂零变换的归纳法证明。
[V/ ext{Ker}mathscr{A}congmathscr{A}V ag{1}]
式（1）说明，变换使得(V)的维数减少了( ext{dim}( ext{Ker}mathscr{A}))，这个角度非常便于讨论复合变换的秩。对于复合变换(mathscr{AB})，它的秩显然有上界(max{ ext{rank}mathscr{A}, ext{rank}mathscr{B}})。从维度减少的角度，不难有式（2）的上界式，从而轻松得到复合变换秩的下界式（3）。使用这个角度，你可以尝试一下下面的两个问题。
[ ext{dim}( ext{Ker}mathscr{AB})leqslant ext{dim}( ext{Ker}mathscr{A})+ ext{dim}( ext{Ker}mathscr{B}) ag{2}]
[ ext{rank}(mathscr{AB})geqslant ext{rank}{mathscr{A}}+ ext{rank}{mathscr{B}}- ext{dim}(V) ag{3}]
• 如果( ext{rank}(mathscr{AB})= ext{rank}(mathscr{B}))，则对任意变换(mathscr{C})都有( ext{rank}(mathscr{ABC})= ext{rank}(mathscr{BC}))。
• Frobenius不等式：( ext{rank}(mathscr{ABC})geqslant ext{rank}(mathscr{AB})+ ext{rank}(mathscr{BC})- ext{rank}(mathscr{B}))。
我们知道，任何一个线性变换(mathscr{A}in ext{Hom}(V,V))，都可以由某组基({alpha_i})以及它们的象完全确定，并由此得到了这组基下的变换矩阵(A)。为了让矩阵运算和变换运算的格式保持一致，把(a_{ij})定义成(mathscr{A}alpha_j)在(alpha_i)上的坐标。如果再把所有向量(alpha)映射成坐标列向量(a)，(mathscr{A}alpha)的象就是(Aa)，而变换(mathscr{AB})的矩阵也正好是(AB)，这样使用起来就方便多了（后面将不加区分地写成(A)）。值得提醒的是，变换矩阵是线性变换的一种表示形式，可以更方便地讨论变换的性质；但其并不能完全替代后者，有时反而会让叙述变得繁琐（比如矩阵秩的讨论）。
1.2 不变子空间和最小多项式
线性变换没有线性映射那样简单的标准式（基于式（1）），因为它的原象和象纠缠在一起（在一个空间）。我们能做的就是找到合适的基，让它们的象和原象划分到尽量多的子空间中，这就是不变子空间的概念（简称(A)-子空间）。为了能将(V)划分成多个不变子空间，需要用到两个关键的结论。第一个是如果有(AB=BA)，那么(BV, ext{Ker}\,B)都是(A)-子空间。特别地，任何多项式(f(A)in F[A])都与(A)可交换，因此( ext{Ker}\,f(A))都是(A)-子空间。如果有式（4）左的互质分解，根据多项式的欧几里得定理，不难有式（4）右的分割。
[f(x)=g(x)h(x),\,(g,h)=1;Rightarrow; ext{Ker}\,f(A)= ext{Ker}\,g(A)oplus ext{Ker}\,h(A) ag{4}]
第二个是Hamilton-Caylay定理，(A)的特征多项式(varphi(lambda))满足(varphi(A)=0)，即它是一个零化多项式。零化多项式的存在，使得式（4）右的分割可以从整个线性空间(V)开始。也就是说，如果零化多项式有互质分解(prod g_i(x))，那么(V)可以拆分为线性无关的子空间和(oplus ext{Ker}\,g_i(A))。为了让问题更简单，我们一般用次数最小的首1零化多项式，即最小多项式(m(x))。根据多项式理论不难证明，(m(x))能整除所有零化多项式。
另外，零化（最小）多项式的概念也可以定义在单个向量、向量集或子空间上，而且显然(V)的零化多项式一定是它（们）的零化多项式。特别地，特征值(lambda_i)的特征子空间(V_i)以((lambda-lambda_i))为其最小多项式(m_i(x))，而(m(x))是(V_i)的零化多项式，故而(m_i(x)|m(x))，这说明(m(x))含有（复数域上）所有特征项((lambda-lambda_i))因子。得到零化多项式最直接的方法，当然是求解以多项式系数为未知数的线性方程组。这个方法没有多大实际意义，但却可以间接说明，一定存在(V)的域(F)上的解（如果有复数解），从而扩张域(F)并不会带来新的最小多项式。
假设(m(x))有式（5）左的互质分解，则线性空间可以有右式的直和分解，(V)的任何向量(alpha)都可以分解为其在( ext{Ker}\,p_i(x))中的投影(P_i(alpha))的直和。但要注意对一个子空间(U)而言，却不能说可以分解为(P_i(U))的直和，直和包含但往往大于(U)。当(U)是(A)-子空间时，利用多项式的互质化1性质，不难构造出(P_i)是(A)的一个多项式。这时(U)也是(P_i)的不变子空间，(P_i(U))的直和又包含于(U)，故而两者是相等的。另外不难看出(P_i(U))就是(Ucap W_i)，故而不变子空间都有式（6）的直和分解，这就得到结论：(W_i)不变子空间的直和构成了全部(A)-子空间。
特别地，如果最小多项式(m(x)=prod(lambda-lambda_i))都是一阶一次的，由核分解法（5）知(V)可以被分解为特征空间之和，从而(A)可对角化。反之亦成立，故有(A)可对角化等价于(m(x))由一次一阶因式组成，这是个极其有效的判断可对角化工具。另外，结合式（6）的结论可知：可对角化变换(A)的任意特征向量的直和，构成了全部(A)-子空间。
[m(x)=p_1(x)cdots p_r(x);Rightarrow ;V= ext{Ker}\,p_1(x)opluscdotsoplus ext{Ker}\,p_r(x) ag{5}]
[U=(Ucap W_1)opluscdotsoplus(Ucap W_r),;;W_i= ext{Ker}\,p_i(x) ag{6}]
在得到更深入的结论之前，我们先来开个脑洞。假设变换(A)的最小多项式(p(lambda))是(r)阶不可约的，根据多项式的理论，(F[A])是一个以(p(A))为0元的域。而回顾线性空间的定义，它可以建立在任何域上（不限定是数域），如果把(f(A)alpha)视为域(F(A))上的纯量乘法，则(V)也可以看成域(F(A))上的线性空间！只是要注意，(F[A])在原始域上的维度是(r)，所以(V)在域(F[A])上是(dfrac{n}{r})维的。这个神奇的角度可以让变换(f(A))如纯量一样自由使用，带来许多意想不到的效果，以下先举一例，本篇的最后会再次用到。
任何子空间都有补空间，但任何(A)-子空间却不一定有(A)-补空间。比如幂次为(r>1)的幂零变换(A)，它有非平凡的(A)-子空间(U= ext{Ker}(A^{r-1}))，任何子空间的象都是探索到(U)里。所以(U)的(A)-补空间(W e 0)必须满足(AW=0)，故(Wsubseteq U)，导致矛盾。这个结论能扩展到更一般都情况，对于满足(g^r(A)=0,(r>1))的变换，非平凡(A)-子空间(g(A)V)没有(A)-补空间。如果要求所有(A)-子空间都有(A)-不空间（称为半单变换），则最小多项式所有项的幂次必须为1（否则可以构造出如上的(g(lambda))）。
反之，对于(m(lambda)=prod p_i(lambda))的变换（(p_i(lambda))互质不可约），先将(V)分解为(W_i= ext{Ker}\,p_i(A))的直和，并记(A_i=Amid W_i)。根据式（6）有任意(A)-子空间(U)都由(U_i=Ucap W_i)直交而成，为了找到(U_i)在(W_i)上的(A)-补空间，把(W_i)看成域(F[A_i])上的线性空间。由于(W_i,U)都是(f(A)in F[A])的不变子空间，故(U_i)也是(W_i)在域(F[A_i])上的子空间，取它的补空间(G_i)，它显然是个(A)-子空间。所以在原始域上，(U_i)总有(A)-补空间(G_i)，这时(G=oplus G_i)就是(U)的(A)-补空间。总结便有：半单变换的充要条件是最小多项式的不可约项都是1次的。
2. 线性空间的分解
2.1 复数域上的分解
复数域上的特征多项式都可以分解为一阶多项式幂((lambda-lambda_i)^{l_i})的乘积（(l_i)叫(lambda_i)的代数重数）， 从而(V)可以先被分解为若干(A)-子空间(W_i= ext{Ker}\,(A-lambda_iI)^{l_i})的直和。为了方便深入讨论（分解）这样的(A)-子空间，记(A-lambda_iI)在(W_i)上的变换为(A_0)。显然(A_0)-子空间也是(A)-子空间，而且(A_0)是幂零变换（(A_0^s=0,sleqslant l_i)）(取最小的(s)叫做(lambda_i)的几何重数）），下面只需集中讨论(W_i)在(A_0)上的分解。
对于任何(alphain W_i)，都存在(A_0^talpha=0,(tleqslant s))，由此生成强循环子空间(langlealpha,cdots,A_0^{t-1}alpha angle)。显然，它的特征多项式和最小多项式都是(lambda^t)，而且不能再分割为两个不变子空间。幂零变换下的不可再分割的不变子空间，想必都是这样的强循环子空间，而(W_i)应当可以被分解为若干强循环子空间。但简单尝试后发现，从局部开始分割出这些链条是不太可能的（无法解决链条缠绕问题）。另外注意到，每个链条的最后一环(A_0^{t-1}alpha)都是(0)特征向量，它们组成了核空间(K_0= ext{Ker}\,A_0)。接下来可以在(K_0)上使用式（1）降维处理，并通过递归论证找到分解的方法，以下具体讨论。
考察(A_0)在(W_i/K_0)上的诱导变换(A_1)，它也是一个幂等变换(A_1^{s-1}=0)，但幂次少1，且( ext{Ker}\,A_1)（的代表元）都是强循环链条的倒数第二环。以此类推，构造出不同维度的变换(A_0,cdots,A_{s-1}=0)，以及它们的核空间(K_0,cdots,K_{s-1})。这时，强循环链条的每一环（从(A_0^{t-1}alpha)到(alpha)），依次是(W_i/K_0,cdots)的代表元。另外根据诱导变换的结论，这些核空间的代表元（都是(W_i)的子空间）是互不相关的，且它们的正交和就是(W_i)。
现在根据这个结构，分解出独立的链条。先从(K_{s-1})的代表元中选出一组基({alpha_j})，它们都能生成最长的强循环链条。由于({alpha_j})与(K_{s-2})的代表元不相关，通过反证法可以有({Aalpha_jin K_{s-2}})也不相关，递归可知这些链条的所有元素都是不相关的。接下来再在({alpha_j})于(K_{s-2})上的补集就行类似的讨论，最终递归构造出互相独立的链条，而链条的所有元素便是(W_i)的一组基。需要注意的是，不管基如何选取，不同长度链条（不同维度的强循环子空间）的个数都是确定的。
回顾整个构造过程，并结合式（1）可知，(A_{i+1})的原象与(A_i)的象同构，递推得到(A_i)的象同构于(A_0^{i+1})，即有( ext{rank}(A_i)= ext{rank}(A_0^{i+1}))。重新记(A_0)的原象(W_i)的维度为(n)，它就是所有链条的长度和，而(A_i)原象的维度则是所有链条截断后(i)节后的长度和。首先不难看出链条的个数就是(K_0)的维数(n- ext{rank}(A_0))，然后记长度为(r)的链条的个数是(n_r)，不难有关系式（7），解此方程组便能得到每个链条的长度。从变换矩阵的角度看，(A_0)以链条为基的变换矩阵是一个分块对角矩阵(D)。每一个分块对应一个链条，是一个次对角矩阵，且分块的个数和大小也跟链条一致。
[1cdot n_{k+1}+2cdot n_{k+2}cdots+(s-k)cdot n_s= ext{rank}(A_0^k),;(k=0,1,cdots,s-1) ag{7}]
现在回到(W_i)上的变换(A=A_0+lambda_iI)，它还是可以按上述链条分割为若干不变子空间，以链条为基的变换矩阵是(D+lambda_iI)。最终不难推导，空间(V)上的变换(A)也能这样分割，以及有对应的变换矩阵。形如式（8）的矩阵称为Jordan块，由若干Jordan块组成的变换矩阵称为Jordan标准型。以上论证则说明了：任何特征多项式可以分解为一阶因式的线性变换(A)（不一定是复数域），都有唯一的Jordan标准型。反过来，也可以用Jordan标准型直观地理解链条分解的论述。
[J_n(lambda)=egin{bmatrix}lambda&1&&\&ddots&ddots&\&&ddots&1\&&&lambdaend{bmatrix}_{n imes n} ag{8}]
Jordan标准型将线性变换“正交分解”，使得问题的讨论可以分化到更小更简单的不变子空间（链条）上，是极其有效的分析工具。比如通过式（9）可知，有Jordan标准型的变换，与其转置变换相似。如果要具体构造标准型，首先从特征多项式得到特征值和重数，然后把式（7）稍作修改，得到每个特征值下的Jordan块。后一步要基于这样的事实：从标准型可以看出，(A-lambda_iI)在其它特征值的链条下都是满秩的。
[CJ_n(lambda)C=egin{bmatrix}lambda&&&\1&ddots&&\&ddots&ddots&\&&1&lambdaend{bmatrix};;C=egin{bmatrix}&&1\&{mathinner{mkern2mu aise1pthbox{.}mkern2mu aise4pthbox{.}mkern2mu aise7pthbox{.}mkern1mu}}&\1&&&end{bmatrix},;C^2=I ag{9}]
2.2 一般域上的分解
复数域上递归分解的方法可以套用到一般数域，基本思想还是降维递归、提取不相关的循环链条，下面就照着再说一遍。假定(A)是(n)维线性空间(V)上的线性变换，它有最小多项式(prod p_i^{s_i}(lambda))，其中(p_i^{s_i}(lambda))是互不相同的不可约因式。先将(A)分解为若干(A)-子空间(W_i= ext{Ker}\,p_i^{s_i}(A))的直和，然后在每个子空间上继续分解。不失一般性，记这个空间为(W)，维度为(n)，(A)在其上的变换为(A_0)，最小多项式(p^s(lambda))的次数为(r)。下面对(s)使用第二归纳法递归论证。
当(s=1)时，对所有元素都有(p(A_0)alpha=0)。先构造出循环子空间(U=langlealpha,cdots,A_0^{r-1}alpha angle)，然后对(A_0)在(W/U)上的诱导变换进行归纳递归的构造。最终便能得到(W)的一组基，它由(n/r)个循环链条组成，这就是我们要的最终分解。注意这里的一个链条只相当于复数域场景的一个元素，这就是一般域上的不同之处，也是造成复杂的主要原因。
当(s>1)时，类似地构造出(K_0= ext{Ker}\,(p(A_0)))，以及(A_0)在(W/K_0)上的诱导变换(A_1)。(A_1)的最小多项式是(p^{s-1}(lambda))，按归纳法它可以分解为若干无关的链条，取其一(langlealpha+K_0,cdots,A_0^{t-1}alpha+K_0 angle)。记(alpha+K_0)的最小多项式为(q(lambda)=p^e(lambda))，则有(eta=q(A_0)alphain K_0)，取其循环链条(langleeta,cdots,A_0^{r-1}eta angle)。不难证明(eta)链条与(alpha+K_0)链条的代表元互不相关，且合并后等价于(alpha)链条(langlealpha,cdots,A_0^{sr-1}alpha angle)，每个这样的(alpha+K_0)链条都能找到对应的(eta)链条，并扩展为更长的(alpha)链条。
根据所有(alpha)链条的不相关性，用反证法可知它们的(eta)链条也是不相关的。这相当于所有的(eta)链条将(K_0)进行了局部分割，而剩下的部分也不难分割为若干长度为(r)的(alpha)链条。所有(alpha)的元素互不相关，正好构成了(W)的一组基，这就是我们要找的最终分解。每个链条下的变换矩阵有形式（10），它称为Frobinus矩阵，也叫有理块，而有理块组成的变换矩阵叫有理标准型。每个有理块的特征多项式和最小多项式都是(p^e(lambda))，其中(er=t)，(a_i)是(p^e(lambda))中(lambda^i)的系数。另外如果构造过程中不展开链条，每个分块将是式（11）右的形式（(H_r)只有右上角为1），它也被称为广义Jordan块，对应也有广义Jordan标准型。
[C(p(lambda))=egin{bmatrix}0&0&cdots&-a_0\1&0&cdots&-a_1\vdots&vdots&ddots&vdots\0&cdots&1&-a_{t-1}end{bmatrix}_{t imes t} ag{10}]
[C(p^r(lambda));sim;egin{bmatrix}C(p(lambda))&&&\H_r&ddots&&\&ddots&ddots&\&&H_r&C(p(lambda))end{bmatrix} ag{11}]
最后根据构造链条的过程易知，链条的个数为(dfrac{1}{r} ext{dim}\,K_0=dfrac{1}{r}(n- ext{rank}[p(A_0)]))。若记长度为(ir)的链条的个数为(n_i)，还有式（12）方程组，求解便得到每种链条的个数，从而得到有理标准型。放到一般的变换(A)和空间(V)中，由于(p(lambda))与其它(p_j(lambda))互质，利用多项式化一理论可知，(p^k(A))在其它(W_j)上是满秩的，故而( ext{rank}[p^k(A_0)]= ext{rank}[p^k(A)])。也就是说，可以直接用( ext{rank}[p_i^k(A)])计算(W_i)上每种链条的数量。
[1cdot n_{k+1}+2cdot n_{k+2}cdots+(s-k)cdot n_s=dfrac{1}{r} ext{rank}[p^k(A_0)],;(k=0,1,cdots,s-1) ag{12}]
2.3 (lambda)矩阵
标准型是特殊的相似矩阵，它保留了线性变换的核心元素（全系不变量），并以更简单的形式方便了理论推导。但从讨论中看出，具体计算、构造这些全系不变量并不轻松，我们需要一个更好的获取它们的方法。但鉴于这个方法和矩阵相似的跨度实在太大，我一直苦于寻找到一个过渡更顺滑的讲法，但不知从何说起。勉强来说，是要从相似矩阵(Asim B)的特征矩阵矩阵(lambda I-A,lambda I-B)中寻找共同点，一是因为特征矩阵原生地保留了变换的所有信息，二是这种表达在HC定理中有一个不容忽视的性质。
首先把元素为(lambda)多项式的矩阵称为(lambda)矩阵，如果允许使用矩阵的数乘运算，每个(lambda)矩阵可以表示为式（13）。式（13）把(lambda)矩阵看成了矩阵系数的(lambda)多项式，而这里的(lambda)仅限定在空间的域上。刚才提到的重要性质是指，如果(F(lambda))能表示成式（14）左，那么把(lambda)换成矩阵(A)时仍然成立。这个性质依赖一个很简单的道理：要想这种替换成立，只需(lambda,A)可交换，故而取(lambda=A)一定成立。当然，(lambda)可以替换为任何与(A)可交换的矩阵。
[F(lambda)=lambda^sA_s+cdots+lambda A_1+A_0 ag{13}]
[F(lambda)=(lambda I-A)(lambda^{s-1}B_{s-1}+cdots+B_0);Rightarrow;F(A)=0 ag{14}]
然后在(lambda)矩阵上扩展初等变换和相抵的概念，但要限定初等变换也是(lambda)矩阵且可逆，故必须是格式(P(i,j),P(i,j(f(lambda))),P(i(k)))之一。在这样的定义下，显然(lambda I-A,lambda I-B)是相抵的，反之如果有(P(lambda)(lambda I-A)=(lambda I-B)Q(lambda))，由式（14）也能得到(Asim B)。这就是说矩阵相似与特征矩阵相抵是等价的，而相抵的每一步初等变换都可逆，故可以探索特征矩阵的相抵矩阵而不惧丢失信息。
初等变换开始出现于行列式当中，那么来考虑(A(lambda))的所有(k)阶子式的行列式，它们是一个多项式集合。初等变换对它们施加的无非是交换、倍数差、纯量乘，由多项式的理论，这些并不改变多项式集的首1最大公因式(D_k(lambda))。它也被称为(A(lambda))的(k)阶行列式因子，它们是相抵意义下的不变量。为了更快地解析出行列式因子，可以先找到(d_1(lambda)=D_1(lambda))放在1行1列，并将1行1列其它元素零化，然后递推得到相抵对角矩阵（15）。其中(d_i(lambda)=D_i(lambda)/D_{i-1}(lambda))，这保证了(d_i(lambda))的唯一性，它称为(M(lambda))的不变因子，这样的相抵(lambda)矩阵也叫(M(lambda))的Smith标准型。
[F(lambda)=P(lambda)egin{bmatrix}d_1(lambda)&&\&ddots&\&&d_n(lambda)end{bmatrix}Q(lambda),;;d_i(lambda)=dfrac{D_i(lambda)}{D_{i-1}(lambda)} ag{15}]
(lambda)矩阵相抵只涉及到多项式的运算，不管在计算还是理论推导上，都有其独有的优势。比如解析过程中发现，Smith标准型并不受数域的影响，所以(lambda)矩阵的相抵关系不因数域而改变，进而证明矩阵相似也不因数域而改变。再比如转置特征矩阵的行列式因子不变，再次证明总有(Asim A')。另外由于递归中(d_i(lambda))总是选的公因式，因此还有性质(d_i(lambda)mid d_{i+1}(lambda))（最后几个可能为0）。
(d_i(lambda))的不可分解因式(m^r(lambda))被称为(lambda)矩阵的初等因子，它和不变因子都是(lambda)矩阵的不变量。如果给定非平凡的初等因子或不变因子，以及矩阵的秩（必需），便能很容易地恢复出它的Smith标准型。有趣的是，只要能找到一个对角型的相抵矩阵，对角元的所有不可分解因式便是所有的初等因子，只需简单调整位置便得到了Smith标准型。原因在于，如果只改变（交换）某个因式的位置，行列式因子不变，从而改变后仍与原矩阵相抵。这就说明，分块对角矩阵的初等因子，就是所有分块的初等因子之合。
现在回到特征矩阵(lambda I-A)，它的不变因子（行列式因子、初等因子）也被称为(A)的不变因子（行列式因子、初等因子）。由于特征矩阵总是满秩的，加上相抵和相似的等价性，则有不变因子和初等因子都是矩阵相似的全系不变量。容易验证有理块(C(p^r(lambda)))的初等因子只有(p^r(lambda))，从而有理标准型的有理块和初等因子一一对应，这就能更方便地得到有理标准型。特别地，Jordan块(J_{n}(lambda_0))也与初等因子((lambda-lambda_0)^n)一一对应，而且在Jordan标准型中容易看出，不变因子(d_n(lambda))其实就是最小多项式，故而再次证明：最小多项式不因数域而变化。
3. 可交换矩阵
最后，我们借助一个课题综合运用本章的知识点。记域(F)上(n)维线性空间(V)的线性变换(A)，现在考虑所有与(A)可交换的变换组成的集合(C[A]={X|XA=AX})，我们希望能得知(C[A])更多的信息。首先我们知道，(A)的多项式(f(A))都与(A)可交换，从而多项式域(F[A])是(C[A])的一个下界。假设(A)的最小多项式(m(lambda))是(s)阶的，易知(I,A,cdots,A^{s-1})线性无关且是(F[A])的一组基，即(F[A])是(s)维线性空间。
• 记(P_i)为分解(V=oplus U_i)下在(U_i)上的投影，证明(P_iin C[A])的充要条件是：(P_i)为(A)-不变子空间。
以上一直在讨论线性变换的不变子空间分割，这可以将问题分化到维度更小的独立子空间中分析。在可交换问题上，不变子空间分割表现为（分块）对角矩阵，直接利用矩阵乘法的性质能方便问题的讨论。为简单起见，设(A)可对角化为(egin{bmatrix}A_1&\&A_2end{bmatrix})，同时也将(X)按对应子空间分割为(egin{bmatrix}X_{11}&X_{12}\X_{21}&X_{22}end{bmatrix})，由(AX=XA)得到式（16）。这个等式的对角线就是在不变子空间的讨论，而非对角线又引出了新问题(A_iX=XA_j)。
[egin{bmatrix}A_1X_{11}&A_1X_{12}\A_2X_{21}&A_2X_{22}end{bmatrix}=egin{bmatrix}X_{11}A_1&X_{12}A_2\X_{21}A_1&X_{22}A_2end{bmatrix} ag{16}]
对于特殊的变换，继续推导下去比较容易。比如假设(A)可对角化为( ext{diag}{lambda_1I_{n_1},cdots,lambda_sI_{n_s}})，对比式（16）可知：(X)的对角分块为任意矩阵，而其它分块皆为(0)。也就是说(C[A])的维度是(Sigma n_s^2)，它一般大于(F[A])。更特殊地，如果(A)的特征值互不相同，则(n_i=1)，这时(C[A]=F[A])。
对于一般的情况，我们先把注意力放在(A_iX=XA_j)上，其中(A_i,A_j)分别是(n_i,n_j)维方阵，(X)是(n_i,n_j)的矩阵。设(X)的秩为(r)，则它可以表示为(Pegin{bmatrix}I_r&\&0end{bmatrix}Q)。带入等式并整理对比后可知，(P^{-1}A_iP)和(QA_jQ^{-1})左上角(r)阶子矩阵相同，从而(A_i,A_j)在复数域有(r)个（算重数）相同的特征值。反之如果(A_i,A_j)有(r)个（算重数）相同的特征值，分别取对应(r)个线性无关的特征值组成列矩阵(R_i)和行矩阵(R_j')，验证(X=R_iR_j')可知，它是方程(A_iX=XA_j)秩为(r)的一个解。综合以上便有结论：方程(A_iX=XA_j)有秩为(r)的解的充要条件是，(A_i,A_j)在复数域有(r)个（算重数）相同的特征值。
以上结论能推推演至(r)成立的最大值，特别地，当(r=0)时方程只有零解，这时(A_i,A_j)在复数域没有相同的特征值。由多项式的结论知，(A_i,A_j)的特征多项式互质（在任何数域）。这时既有，(A_iX=XA_j)只有零解的充要条件是，(A_i,A_j)的特征多项式互质。所以如果按式（5）分割不变子空间，方程总是只有零解，可交换问题就只需在不变子空间(W_i)中讨论。但要注意(W_i)中可能有多个有理块或Jordan块，此时(C[A_i])还没有一般性的结论，我们只能讨论一些特殊情况。简单起见，以下还是记(W_i)为(V)，记(A|W_i)为(A)。
首先假定(W_i)中只有一个有理块（或Jordan块），也就是说标准型的每个有理块是互素的，这时就能单独讨论有理块了。记有理块的基是(xi,Axi,cdots,A^{r-1}xi)，并设(Bin C[W_i])满足(Bxi=sum a_iA^ixi)。对任意向量(alpha)，将其展开并根据(A,B)的可交换性，容易证得(Balpha=sum a_iA^ialpha)。从而有(B=sum a_iA^iin F[A])，再次得到(C[A]=F[A])。
再看(W_i)的最小多项式是(p(lambda))是(r)阶一次的情形。我们把(V)看成是域(F(A))上的线性空间，并定义这个空间上的线性变换集(H[A]= ext{Hom}_{F[A]}(V,V))，这个神奇的角度可以让(f(A))如纯量一样自由穿梭，从而带来所需的“交换”效果。比如对任何(Bin H[A])，总有(B(Aalpha)=A(Balpha))，从而(Bin C[A])或(H[A]subseteq C[A])。反之对任何(Bin C[A])，总有(B(f(A)alpha)=f(A)(Balpha))，所以(B)可以看成域(F[A])上线性变换，即有(Bin H[A])或(C[A]subseteq H[A])。综合便得到(C[A]=H[A])，进一步还可以计算(H[A])的维度：(H[A])在域(F[A])上是(dfrac{n^2}{r^2})维、在原始域上是(dfrac{n^2}{r})维的。
更一般的(W_i)就不太好分析(C[W_i])了，但还有一个漂亮的性质值得介绍一下。这里先定义符号(C^2[A]=C[C[A]])，它表示与(C[A])所有元素都可交换的变换集，首先因为(Ain C[A])，故有(C^2[A]subseteq C[A])。如果(C[A])没有达到下限(F[A])，更多的元素其实会对(C^2[A])造成较大的限制，很有可能会有(C^2[A]=F[A])。即对任意(B=in C^2[A])，我们希望构造出(B=g(A)in F[A])。为此先将(V)分解成有理块（或Jordan块）(oplus U_i)，记循环子空间(U_i)的生成元为(xi_i)，以及最小多项式为(p_i(lambda)=p^{s_i}(lambda))，其中(s_ileqslant s)。
因为(BA=AB)，所以(U_i)也是(B)-子空间，这里记变换(B_i=B|U_i)，前面已经证明了存在(B_i=g_i(A_i))。那么希望构造的(g(A))必须满足(g(A_i)-g_i(A_i)=0)，即(m_i(lambda)mid g(lambda)-g_i(lambda))。不难看出，如果方程有特解，必然是阶数最高的(g_i(lambda))，记对应的生成元为(xi)。再记(alpha=p^{s-s_i}(A)xi)，要使等式对每个(i)成立，等价于要求(g(A)alpha=g_i(A)alpha)。为了出现(g_i(A))，只需把(alpha)看成(xi_i)在某个变换下的象，而这个变换要与(B)可交换。对任意(q(A)xi_i)，构造变换(H_i(q(A)xi_i)=q(A)alpha)，而在(U_j e U_i)上是单位映射。易证这个映射是良性定义的（如果(q_1(A)xi_i=q_2(A)xi_i)则象也相同），且有(H_iin C[A])，则它满足刚才的条件。构造成功后，逆推整个过程便有式（17）成立。
[C^2[A]=C[C[A]]=F[A] ag{17}]
最后来看可交换变换的一个性质。假设复数域上有(AB=BA)，先取(A)的一个特征子空间(V(lambda))，那么它也是(B)的不变子空间。现在在(V(lambda))中取(B)的特征向量(alpha_1)，它是(A,B)的共同特征向量。易知(A,B)在(alpha_1)生成空间下的诱导变换仍然可交换，继续这样的讨论，便能得到一组基({alpha_i})，其中(Aalpha_i,Balpha_i)都可由(alpha_1,cdots,alpha_{i-1})表示。从变换矩阵的角度，就是存在(P)使得(P^{-1}AP)和(P^{-1}BP)都是上三角矩阵，且对角线都是特征值。这个结论能扩展到任意多可交换变换。特别地，如果({A_i})都可以对角化、且互相可交换。先选择基将(A_1)对角化。从本段开始的讨论可知，这时其它变换的矩阵都是对角分块矩阵，利用可对角化的条件（最小多项式），可递推地将所有矩阵都对角化。也就是说，存在(P)使得(P^{-1}A_iP)都是对角矩阵，而刚才的结论就是该结论的扩展。