排序算法(二)：归并排序

归并排序

归并排序基本的操作是合并两个已排序的数组，如下面的例子：

A：{1,2,4,7}

B：{2,2,5,9}

第一步：

比较A[0]和B[0]，A[0]<B[0]，将A[0]复制到C[0]中，得到

C{0}

第二步：

比较A[1]和B[0]，A[1]=B[0]，将A[1]复制到C[0]中，得到

C{1,2}。

循环以上步骤，即得到排序后的序列：

C{1,2,2,2,4,5,7,9}。

这就是归并排序的基本原理，那么我们可以先给出合并两个已经有序的数组的代码：

    public void merge(Integer[]a,Integer low,Integer mid,Integer high) {
        Integer i = low;
        
    /*    这里为什么不能用mid，因为之前在递归时是以mid+1分割的：
                [1,2,8,3,4]
                low=0 mid=2 high=4
                i=0 j=2
                [1]
                i=1 j=2
                [1,2]
                i=2 j=2
                [1,2,8,3,4]*/
        
        Integer j = mid + 1;
        Integer[] b = new Integer[high + 1];
        for(int k=low;k<=high;k++) {
            b[k] = a[k];
        }
        
        print("b",b);
        
        for(int k=low;k<=high;k++) {
            //第一个有序子数组已经遍历完
            if(i > mid)
                a[k] = b[j++];
            //第二个有序子数组已经遍历完
            else if(j > high) 
                a[k] = b[i++];
            else if(b[i] < b[j])
                a[k] = b[i++];
            else 
                a[k] = b[j++];
        }
    }

这段代码实现了合并两个已经有序的数组到一个新数组。只不过在这里我们使用一个数组代替了两个有序数组，如下：

A’[1,2,4,7,2,2,5,9]  是把上面提到的两个有序数组A和B放在一个数组A’中，用mid=3来分割。

最后在代码中新建一个数组B[],将A’中的元素复制到B。

再用循环依次将元素排序放回A中。

但是现在这段代码只能将两个已经有序的数组，归并后到一个新数组，让这个新数组编程有序的。

如果是一个无序的数组呢？

这里就需要用到一下的思想：

 

我们可以先将一个无序数组A，按照2位单位，分成诸多长度为2的子数组：

如下：

假如有数组A：[2 ,1 ,5 ,9 ,0 ,6 ,8 ,7 ,3]

可以分成以下长度为1的子数组：

{2}、{1}、{5}、{9}、{0}、{6}、{8}、{7}、{3}

那么对这9个子数组进行归并排序，也即使用上面提到的代码进行排序，那么就可以得到

{1,2}、{5,9}、{0,6}、{7,8}、{3}

这样我们就有5个有序的子数组了，再讲这五个子数组两两归并，即得到：

{1,2,5,9}、{0,6,7,8}、{3}

就这样依次归并下去，即得到一个有序的数组B

{0 ,1 ,2 ,3 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9}

在这里，很明显能感觉到一丝递归的意味，那么先直接给出代码：

    //递归实现，自顶向下
    public void mergeSort(Integer[] a,Integer low,Integer high) {
        if(low >= high)
            return;
        
        Integer mid = (low + high)/2;
        mergeSort(a,low,mid);
        mergeSort(a,mid+1,high);
        merge(a,low,mid,high);
    }

相信如果理解了以上所说的递归排序的原理，这段代码应该非常好懂，用递归的好处就是逻辑简单，符合人的直观思维，只需要将一个待排序的数组依次分成2,4,8...等若干个数组，直到得到A.length个长度为1的子数组，依次归并后得到若干个长度为2的有序子数组，再进行归并，得到若干个长度为4的子数组（当然，有可能最后一个子数组长度不一定刚好为2或4，即数组的长度不一定为2的倍数）。

这样一直归并下去，即得到有序的数组。

这是使用递归来实现，那么应该还有一种不使用递归的实现，如下：

    //非递归，自底向上
    public void mergeSortNonRecursion(Integer[] a) {
        //第一层循环 表示归并排序子数组的长度 从1 , 2 , 4 ,8 .....
        for(int i=1;i<a.length;i *= 2) {
            //第二层循环表示每两个自数组之间归并排序，确定起始和终止INDEX
            for(int low=0;low<a.length;low += 2*i) {
                merge(a, low, low + i- 1, Math.min(low + 2*i - 1, a.length - 1));
            }
        }
    }

第一层循环表示归并的次数，

第一次分成n个长度为1的子数组，进行归并

第二次分成n/2个长度为2的子数组....

结论就是，一个长度为n的数组需要归并logn次。

第二层循环表示把两个子数组进行归并

效率：归并排序的时间复杂度为NlogN

完整代码如下：

public class MergeSort extends SortBase {

    @Override
    public Integer[] sort(Integer[] a) {
        // TODO Auto-generated method stub
        print("init",a);
        //mergeSort(a,0,a.length-1);
        mergeSortNonRecursion(a);
        print("result",a);
        return a;
    }
    
    
    //递归实现，自顶向下
    public void mergeSort(Integer[] a,Integer low,Integer high) {
        if(low >= high)
            return;
        
        Integer mid = (low + high)/2;
        mergeSort(a,low,mid);
        mergeSort(a,mid+1,high);
        merge(a,low,mid,high);
    }
    
    public void merge(Integer[]a,Integer low,Integer mid,Integer high) {
        Integer i = low;
        
    /*    这里为什么不能用mid，因为之前在递归时是以mid+1分割的：
                [1,2,8,3,4]
                low=0 mid=2 high=4
                i=0 j=2
                [1]
                i=1 j=2
                [1,2]
                i=2 j=2
                [1,2,8,3,4]*/
        
        Integer j = mid + 1;
        Integer[] b = new Integer[high + 1];
        for(int k=low;k<=high;k++) {
            b[k] = a[k];
        }
        
        print("b",b);
        
        for(int k=low;k<=high;k++) {
            //第一个有序子数组已经遍历完
            if(i > mid)
                a[k] = b[j++];
            //第二个有序子数组已经遍历完
            else if(j > high) 
                a[k] = b[i++];
            else if(b[i] < b[j])
                a[k] = b[i++];
            else 
                a[k] = b[j++];
        }
    }
    
    //非递归，自底向上
    public void mergeSortNonRecursion(Integer[] a) {
        //第一层循环 表示归并排序子数组的长度 从1 , 2 , 4 ,8 .....
        for(int i=1;i<a.length;i *= 2) {
            //第二层循环表示每两个自数组之间归并排序，确定起始和终止INDEX
            for(int low=0;low<a.length;low += 2*i) {
                merge(a, low, low + i- 1, Math.min(low + 2*i - 1, a.length - 1));
            }
        }
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        Integer[] a = {2,1,5,9,0,6,8,7,3};
        (new MergeSort()).sort(a);
    }
}

运行结果如下：

init: [2 ,1 ,5 ,9 ,0 ,6 ,8 ,7 ,3]

归并2和1

b: [2 ,1]

归并5和9，即依次归并两个长度为1的子数组，得到长度为2的有序子数组

b: [null ,null ,5 ,9]

b: [null ,null ,null ,null ,0 ,6]

b: [null ,null ,null ,null ,null ,null ,8 ,7]

b: [null ,null ,null ,null ,null ,null ,null ,null ,3]

归并1、2、5、9，即依次归并两个长度为2的子数组，得到长度为4的有序子数组

b: [1 ,2 ,5 ,9]

b: [null ,null ,null ,null ,0 ,6 ,7 ,8]

b: [null ,null ,null ,null ,null ,null ,null ,null ,3]

归并1 ,2 ,5 ,9 ,0 ,6 ,7 ,8，即依次归并两个长度为4的子数组，得到长度为8的有序子数组

b: [1 ,2 ,5 ,9 ,0 ,6 ,7 ,8]

b: [null ,null ,null ,null ,null ,null ,null ,null ,3]

b: [0 ,1 ,2 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,3]

result: [0 ,1 ,2 ,3 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9]

从结果上看，可以很清晰的看出来是两两归并。