定义
其实数字方阵并不是一种数学工具（？
可以当做不用运算的、行数=列数的 矩阵。
从语文的角度看：
矩形->矩阵 长方形的
（正）方形->方阵 正方形的
？？？
性质
主要总结几种基本的变换
1.垂直对称 $f'(i,j)=f(i,n+1-j)$
2.水平对称 $f'(i,j)=f(n+1-i,j)$
3.对角线（左上-右下）对称 $f'(i,j)=f(j,i)$
4.对角线（左下-右上）对称 $f'(i,j)=f(n+1-j,n+1-i)$ //原文貌似有误
5.中心对称（水平对称+垂直对称） $f'(i,j)=f(n+1-i,n+1-j)$
6.顺时针$90$度（水平对称+对角线对称） $f'(i,j)=f(n+1-j,i)$
7.顺时针$90$4度（垂直对称+对角线对称） $f'(i,j)=f(j,n+1-i)$
都易证
为什么我觉得会出锅
例题
主要部分。这算是全书最水的部分了……全是模（%）拟
方法：模拟法、归纳法。
例6.2-1 （NOIp2015 提高组）n阶奇数幻方/神奇（jī）的幻方
（https://www.luogu.org/problemnew/show/P2615）
$n$为奇数时，输出$n$阶幻方。
分析题目中的四个变换方式：
1.若(K-1)在第一行但不在最后一列，则将K填在最后一行，(K-1)所在列的右一列
2.若(K-1)在最后一列但不在第一行，则将K填在第一列，(K-1)所在行的上一行
3.若(K-1)在第一行最后一列，则将K填在(K-1)的正下方；
4.若(K-1)既不在第一行，也最后一列，如果(K-1)的右上方还未填数，则将K填在(K-1)的右上方，否则将K填在(K-1)的正下方。
？？？规律很明显？？？
综上所述，可得：
①当当前位置的右上一格为空时 填进去
②当……不为空时 填在下面（在$k<n^2$范围内肯定为空，别问我我也不会证）
（但是其实有一种玄学反证：如果不为空，题目出错，所以为空）
（这个说法我自己都不信，但是考试时还是很好用的 。。。）
代码：
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int n,x,y,a[55][55];
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
y=n/2;
for(int i=1;i<=n*n;i++) {
a[x][y]=i;
x--,y++;
x+=n,y+=n;
x%=n,y%=n;
if(a[x][y]) x+=2,y--;
x+=n,y+=n;
x%=n,y%=n;
}
for(int i=0;i<n;i++) {
for(int j=0;j<n;j++)
cout<<a[i][j]<<' ';
cout<<endl;
}
return 0;
}
例6.2-2 N阶斜线方阵
给出$n$，输出如图所示的一个$n^2$方阵
1 2 4 7 11
3 5 8 12 16
6 9 13 17 20
10 14 18 21 23
15 19 22 24 25
首先可以按照斜线填数。
然后注意到，相同斜线上的数横纵坐标之和相等。
代码：
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int n,count=1,a[25][25];
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=i;j++) {
a[j][i+1-j]=count++;
}
}
for(int i=n-1;i>=1;i--) {
for(int j=1;j<=i;j++) {
a[n-i+j][n-j+1]=count++;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++)
cout<<setw(3)<<a[i][j]<<' ';
cout<<endl;
}
return 0;
}
例6.2-2 （NOIp2014 普及组）N阶螺旋方阵/螺旋矩阵
（我记得$17$年刚学$OI$的时候有一次比赛，这题是第二题。然后我调了一个小时发现数据太大没法模拟……）
用实验法 可以得出此题应该用归纳法，即数学推理法。模拟是不行的。
由于这是正方形，可以像靶形数独像箭靶一样，将方格分层，再处理一层的环形。
首先设左上角数字为$k$
- 第一行：显而易见可得$f(i,1)=i+k-1$;
- 最后一行：右下角为$k+2n-2$，$f(i,n)=(k+2n-2)+(n-i)=k+3n-i-2$
- 第一列：左下角为$k+3n-3$，$f(1,i)=(k+3n-3)+(n-i)=k+4n-i-3$
- 最后一列：右上角为$k+n$，$f(n,i)=k+n+i-2$
注意到每一层都是 加一个$k$，$k$可以在前一层的基础上求出。
有一个细节：若之前求$k$少加了$1$，之后要少减去$1$。
代码：
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int n,i,j;
int solve(int n,int x,int y){
if(y==1) return x;
if(y==n) return 3*n-x-1;
if(x==1) return 4*n-y-2;
if(x==n) return n+y-1;
return solve(n-2,x-1,y-1)+4*(n-1);
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n>>i>>j;
cout<<solve(n,j,i);
return 0;
}
总结
当数据比较小时用模拟法。模拟法要抓住“有规律的变化”，用循环求解。
当数据比较大，或规律明显时用归纳法。归纳法参考等差数列，要利用“初值”，“公差”，“项数”分析公式，也要在最后用加上常数的方法进行调整。另外还要注意数值变化的方向。