时间复杂度及计算

 

一般情况，算法中基本操作重复的次数是关于 问题规模n 的某个函数f(n)（频度）

算法的时间量度记作T(n)=O(f(n)),即为时间复杂度。

简单来讲，计算时间复杂度，就是根据代码，将重复次数用一个含有 问题规模n 的代数式表示出来。

①O(1)

   ⭐ 如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

     eg.    x=0;

              for(i=0;i<1000;i++)

                   x+=i;

---

②O(n^a)

    eg1.   for(i=0;i<n;i++)

               for(j=0;j<n;j++)

                     x+=1;

              Σ（i=0—n)Σ(j=0—n)*1=n*n

     eg2.if ( A > B )

            { for ( i=0; i<N*N/100; i++ )

                for ( j=N*N; j>i; j-- )

                     A += B; }

            else

           { for ( i=0; i<N*2; i++ )

               for ( j=N*3; j>i; j-- )

                  A += B; }

          选取需要时间最长的那个循环，显然是if里面的     n^5

、eg3.int func ( int n )

            { int i = 0, sum = 0;

                while ( sum < n )

                     sum += ++i;

               return i; }

---

③O(log an)

    eg.  for (int i = 1; i <= n; i *= c)

                    a = a + 1;

             设频度f(n)，则有  c^f(n)*1<=n，取等号时计算，得 f(n)=O(log cn)

             同理，i执行 i/=c 的时候也是成立的：

             for (int i = n; i > 0; i /= c) {
                   a = a + 1;}

---

④其它

    eg.for(i=0; i<n; i++)

            for(j=i; j>0; j/=2)

                printf(“%d ”, j);

---

下列函数中，哪个函数具有最慢的增长速度：B

N​^1.5​​    NlogN​^2​​    N​^2​​logN      N(logN)​^2

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log₂n)＜Ο(n)＜Ο(nlog₂n)＜Ο(n²)＜Ο(n³)＜…＜Ο(2ⁿ)＜Ο(n!)

---

另一种计算思想

for (i=1;i<n;i++) 
{ 
         y=y+1; ① 
    for (j=0;j<=(2*n);j++) 
           x++; ② 
} 
 语句1的频度是n-1
语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n2-n-1
则f(n)=2n2-n-1+(n-1)=2n2-2；

---

常用算法时间复杂度和空间复杂度

 图源网络