【动态规划】最长公共子序列与最长公共子串

1. 问题描述

子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串

• cnblogs
• belong

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cnblogs, belong），最长公共子串为lo（cnblogs, belong）。

2. 求解算法

对于母串(X = < x_1, x_2, cdots , x_m >), (Y = < y_1, y_2, cdots , y_n >)，求LCS与最长公共子串。

暴力解法

假设 (m < n)， 对于母串(X)，我们可以暴力找出(2^m)个子序列，然后依次在母串(Y)中匹配，算法的时间复杂度会达到指数级(O(n*2^m))。显然，暴力求解不太适用于此类问题。

动态规划

假设(Z =< z_1, z_2, cdots , z_k >)是(X)与(Y)的LCS， 我们观察到

• 如果(x_m = y_n)，则(z_k = x_m = y_n)，有(Z_{k-1})是(X_{m-1})与(Y_{n-1})的LCS；
• 如果(x_m e y_n)，则(Z_{k})是(X_{m})与(Y_{n-1})的LCS，或者是(X_{m-1})与(Y_{n})的LCS。

因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——用空间换时间，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。

DP求解LCS

用二维数组c[i][j]记录串(x_1x_2 cdots x_i)与(y_1y_2cdots y_j)的LCS长度，则可得到状态转移方程

[c[i,j] = left{ {matrix{ 0 & {{i = 0 m{ or }j = 0}} cr {c[i - 1,j - 1] + 1} & {{i, j > 0 m{ and } }{{x}}_i} = {y_j} cr {max ({c[i, j - 1], c[i - 1, j])}} & {{i, j > 0 m{ and }}{{ m{x}}_i} e {y_j}} cr } } ight. ]

代码实现

public static int lcs(String str1, String str2) {
	int len1 = str1.length();
	int len2 = str2.length();
	int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
	for (int i = 0; i <= len1; i++) {
		for( int j = 0; j <= len2; j++) {
			if(i == 0 || j == 0) {
				c[i][j] = 0;
			} else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
				c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
			} else {
				c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);
			}
		}
	}
	return c[len1][len2];
}

DP求解最长公共子串

前面提到了子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要，糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性，将二维数组(c[i,j])用来记录具有这样特点的子串——结尾为母串(x_1x_2 cdots x_i)与(y_1y_2cdots y_j)的结尾——的长度。

得到转移方程：

[c[i,j] = left{ {matrix{ 0 & {i = 0 m{ or }j = 0} cr {c[i - 1,j - 1]+1} & {{x_i} = {y_j}} cr 0 & {{x_i} e {y_j}} cr } } ight. ]

最长公共子串的长度为 (max(c[i,j]), iin lbrace 1,cdots, m brace, jin lbrace 1,cdots,n brace)。

代码实现

public static int lcs(String str1, String str2) {
	int len1 = str1.length();
	int len2 = str2.length();
	int result = 0;     //记录最长公共子串长度
	int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
	for (int i = 0; i <= len1; i++) {
		for( int j = 0; j <= len2; j++) {
			if(i == 0 || j == 0) {
				c[i][j] = 0;
			} else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
				c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
				result = max(c[i][j], result);
			} else {
				c[i][j] = 0;
			}
		}
	}
	return result;
}

3. 参考资料

[1] cs2035, Longest Common Subsequence.
[2] 一线码农, 经典算法题每日演练——第四题 最长公共子序列.
[3] GeeksforGeeks, Dynamic Programming | Set 29 (Longest Common Substring).