一座山的山稜线由许多片段的45度斜坡构成，每一个片段不是上坡就是下坡。
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在我们眼前的所见的任何宽度为n个单位的山稜形状，可以轻松地观察到所有山顶的位置。
请问有多少种山稜线的形状，使得所有山顶的位置由左而右非递减呢？
所有的山稜线都必须完整，也就是说左右两端都必须是高度为0的山脚，而且不能有任何山谷的位置隐没在地平线底下。
输入说明 ：
输入仅包含一个数字n，n一定会是偶数，因为会有相同片段数量的上坡以及下坡。
输出说明 ：
请输出山顶位置由左而右非递减的山稜线形状总数。
由于答案可能很大，你只要输出以十进位表示时，它的最后9位数即可。
范例输入 ：
6
范例输出 ：
4
提示 ：
佔总分20%的测试数据中 n<=60
佔总分40%的测试数据中 n<=200
佔总分100%的测试数据中 n<=3000
题解：
动态规划
记dp[i][j]表示长度为i+j，山稜最大高度为j时的方案数，那么它可以由以下两种状态转移过来。
1）dp[i-1][j-1]（在原图形的两侧分别加上一条线，如下图）
2）之前已经存在了的最大高度为j的山峰，在左边补上高度比它小的山峰而形成的，如下图
我们将情况2）通过一个前缀和数组sum[i][j]表示（表示长度不超过i+j且高度为j的方案数）
那么状态转移方程即为：dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+sum[i-2][j]，
sum[i][j]=sum[i-1][j]+dp[i][j]
为了保证合法则必须有(i+j) mod 2=0
那么这题是不是结束了？并没有
在情况2）中，我们直接加上了sum[i-2][j]，这样做有什么问题吗？
我们考虑下面的图
对于左面新添加的山稜，为了保证答案的合法，只能在它的旁边加上高度不超过当前最大高度的山稜，即下面的转移是不合法的
但是如果我们只是单纯的加上sum[i-2][j]是无法解决上面所提到的不合法的情况
即：我们在转移完了之后，要减去一部分不合法的情况
这些不合法的情况是：长度小于i-j，高度为j的所有山稜
所以在转移完成之后需要将sum[i-j-j-1][j]减去即可
最后答案：
程序：
1 #include <stdio.h> 2 3 #include <iostream> 4 5 using namespace std; 6 7 const int maxd=1000000000; 8 9 10 11 int dp[3001][3001]={0}; 12 13 int sum[3001][3001]={0}; 14 15 16 17 int main() { 18 19 int n,i,j,s; 20 21 dp[1][1] = 1; 22 23 sum[1][1] = 1; 24 25 for( i=2; i<=3000; i++ ) { 26 27 for( j=1; j<i; j++ ) { 28 29 if((i+j)%2==0) { 30 31 dp[i][j] = (dp[i-1][j-1]+sum[i-2][j])%maxd; 32 33 if(i-j-j-1>=0) { 34 35 dp[i][j] = (dp[i][j]-sum[i-j-j-1][j])%maxd; 36 37 if(dp[i][j]<0) dp[i][j]+=maxd; 38 39 } 40 41 } 42 43 sum[i][j] = (sum[i-1][j]+dp[i][j])%maxd; 44 45 } 46 47 dp[i][i] = 1; 48 49 sum[i][i] = 1; 50 51 } 52 53 scanf("%d",&n); 54 55 s = 0; 56 57 for( i=1; i<=n/2; i++ ) { 58 59 s = (s+dp[n-i][i])%maxd; 60 61 } 62 63 printf("%d ",s); 64 65 return 0; 66 67 }