打算整理一下到现在遇到过的博弈问题，虽然XCPC其实不怎么遇到，但是还是得防他一手。
首先，提一下博弈的类型。
以下提到的所有博弈都是ICG游戏的博弈，ICG游戏的条件如下：
1、有且仅有两人。
2、两人交替进行合法的移动。
3、合法的移动集合仅取决于局面本身。
4、无法进行合法移动即判负。
所以，日常情况下，大多数的游戏并非ICG。（比如象棋、围棋，就连五子棋也不是）
一、巴什博弈
题目的表述通常都可以转述成：一共有(n)个物品，每次最少取(1)个，最多取(m)个，取完者胜（或者负），问谁能获胜。
那这里就仅仅讨论取完者胜的情况，结论就是仅当(n\%(1+m)=0)时先手必败，其余情况先手必胜。原因很简单，先手可以把余数部分取掉，而后凑(1+m)即可。
例题：HDU - 1846
完完全全的模板题，写就完了。
#include <bits/stdc++.h> #define fast ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0) using namespace std; int main() { fast; int c; cin >> c; while (c--) { int n, m; cin >> n >> m; if (n % (1 + m) == 0) cout << "second "; else cout << "first "; } }
当然，巴什博弈也有一定的拓展，有时取的下限并非(1)，将每次取值的范围控制在(p)和(q)之间。
例题：HDU - 2897
我们可以通过同样的方法计算(n\%(p+q))的值，当这个值为大于(0)且小于等于(p)时，无论先手取何值(k)，后手只需要取对应的(p+q-k)，这样维持原博弈状态，直至只剩下这个余数，先手必败。余数大于(p)时，我只需要取使得剩下部分的余数小于(p)即可，这样对方处在必败态。等于(0)时，取最大值，后手要么维持余数为(0)，这种情况下先手胜；要么取(k)，而先手对应取(p+q-k)即可，这样最后一部分只能留给后手取。
最终得出结论：余数大于(0)小于等于(p)先手败，否则先手胜。
#include <bits/stdc++.h> #define fast ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0) using namespace std; int main() { fast; int n, p, q; while (cin >> n >> p >> q) { if (n % (p + q) > 0 && n % (p + q) <= p) cout << "LOST "; else cout << "WIN "; } }
二、斐波那契博弈
一个结论性的博弈罢了。
有(n)个物品，两人轮流取，第一次可以取任意个（但不能取完），之后的每一次取的个数不超过上一次的(2)倍，问胜负情况。
涉及到一个名字叫做“k倍动态减法游戏”（一篇初中生写的论文）。当(k=2)时，仅当(n)为斐波那契数时必败，其余情况必胜。具体的证明过程我还得看看。
例题：HDU - 2516
#include<bits/stdc++.h> #define fast ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0) #define ll long long using namespace std; ll fi[3000]; int main() { fast; int n; ll temp=pow(2,31); fi[1]=1; fi[2]=2; int m; for(int i=3;;i++) { fi[i]=fi[i-1]+fi[i-2]; if(fi[i]>=temp) { m=i; break; } } while(cin>>n) { int flag=1; if(n==0) break; for(int i=1;i<=m;i++) { if(fi[i]==n) { flag=0; break; } if(fi[i]>n) break; } if(flag) cout<<"First win "; else cout<<"Second win "; } return 0; }
三、威佐夫博弈
初次接触是和孙爹打某场牛客遇到的一道题E-Seek the Joker II_第八届“图灵杯”NEUQ-ACM程序设计竞赛个人赛（同步赛） (nowcoder.com)
当时直接采取了一个打表进行一个暴力然后过了，赛后查了一下居然是一种我从未知晓的博弈类型。
有两堆个若干个物品，两个人轮流从任一堆取至少一个或同时从两堆中取相同数量的物品，取完者胜。（改自百度百科）
不证明，直接给结论：假设小堆个数为(a)，大堆个数为(b)，如果(a=(int)((b-a)*(sqrt(5)+1)/2))，那么先手必败，否则先手必胜。
例题：HDU - 1527
#include <bits/stdc++.h> #define fast ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0) using namespace std; int main() { fast; int a, b, num; double k = (sqrt(5.0) + 1) / 2; while (cin >> a >> b) { if (a > b) { int temp; temp = a; a = b; b = temp; } num = b - a; if (a == (int)(num * k)) cout << "0 "; else { cout << "1 "; } } return 0; }
四、NIM博弈
NIM博弈的模型是：给(n)堆石子，两人轮流从某一堆石子中取走一定数量的石子（可取完，但不能不取），取完者胜。
这边先引出两个概念：(P-position)和(N-position)，前者可以理解为先手必败的状态，后者理解为先手必胜的状态。
引申出如下三条性质：
1、无法进行移动的状态都是(P-position)。
2、能移动到(P-position)的状态是(N-position)。
3、所有移动都导致(N-position)的状态是(P-position)。
以上可作为博弈的总体思路，在比赛中对陌生的博弈进行分析。
那么这边提到的NIM博弈证明呢，懒得找了，所以直接给出一个非常简单的结论。
所有数字异或结果为(0)先手必败，否则先手必胜。
就这么简单，我不懂，但我大为震撼。
例题：HDU - 2176
#include <bits/stdc++.h> #define fast ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0) using namespace std; int main() { fast; int n; int a[200010]; while(cin>>n) { if(n==0) break; int ans=0; int x; for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>a[i]; ans^=a[i]; } if(ans==0) cout<<"No "; else { cout<<"Yes "; for(int i=1;i<=n;i++) { int s=ans^a[i]; if(s<a[i]) cout<<a[i]<<' '<<s<<' '; } } } return 0; }
当然，还没结束。假设对每堆的取法做出限制，该如何解决。
这边需要引入SG函数。
我们可以把所有状态的转移抽象成一张有向无环图，每一条边相当于状态的转换。
这边先引出一个函数(mex)，表示最小不属于某个集合的非负整数。比如(mex{0,2,3}=1)，(mex{1,2,3}=0)。
对于任意一点，其SG值等于其所有后继SG值的(mex)。并且根据上文提到的性质，可以类推出：
1、SG值为0时的状态为(P-position)。
2、SG值为0时，其后继的所有状态都是(N-position)。
3、SG值不为0时的状态为(N-position)，必定存在后继的SG值为0。
那么对于某一个堆，我们就可以看作是一个对应SG值个数的取石子游戏，然后按照NIM博弈的异或操作进行处理即可。
例题：HDU - 1848
#include<bits/stdc++.h> #define fast ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0) using namespace std; int f[3010]; int sg[3010]={0}; void get_sg(int n) { for(int i=1;i<=n;i++) { int vis[3010]={0}; for(int j=1;f[j]<=i;j++) { vis[sg[i-f[j]]]=1; } for(int j=0;j<=1000;j++) { if(!vis[j]) { sg[i]=j; break; } } } } int main() { fast; f[1]=1; f[2]=2; for(int i=3;;i++) { f[i]=f[i-1]+f[i-2]; if(f[i]>1000) break; } get_sg(1000); int n,m,p; while(cin>>n>>m>>p) { if(n==0 && m==0 && p==0) break; if(sg[n]^sg[m]^sg[p]) { cout<<"Fibo "; } else cout<<"Nacci "; } return 0; }
另外，打表的代价非常大，如果数据范围太大，则需要通过小范围打表，找到更明显的规律进行求解。
以上，就是比较常见且基础的博弈类型与做法。那么对于一般的博弈，首先是看能否用以上的方法进行处理。如果无法处理，则可以通过DFS打表找规律，然后归纳出博弈的结果。