动态规划--------最长子序列

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

来源：力扣（LeetCode）
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　　这道题还有一个要求就是时间复杂度不高于O(n^2)，但是我拿着题一看，这怎么会需要O(n^2)？随即又看了一遍题设，题目并没有说明是连续子序列，而是任意一个子序列就OK，如果是连续子序列，那么只需要从头到尾遍历一遍就行，但是此处说的是子序列，那么对于这样一个问题，需要怎么去求解呢？

　　其实从这篇文章的标题就能看出来，DP可以解，这个问题给我的第一感觉也是DP算法，DP算法的核心是要找到状态转移方程，因此下面的工作就是找到在这个场景下的状态转移方程。

　　我们构建一个dp数组，int[] dp = new int[nums.length]；其中dp[i]所表征的是nums[0]到nums[i]中包含nums[i]元素的最长上升子序列（下称子序列）。有了以上假设后，继续分析dp[i]和dp[i-1]是什么关系。我们知道，当扫描到nums数组的每一个元素时，我们都面临一个选择：将其加入到子序列元素中或者放弃其加入，那么加入所带来的影响就是后续元素若想加入到序列中就必须要比该元素大。基于以上的分析我们可以清楚的是，并不是碰到一个上升元素就必须要将其加入到子序列中。而又有我们的dp数组的定义可以知道nums[i]必将存在与子序列中，那么我们就可以得知在求dp[i]时需要遍历前i个元素(找插入位置)，并取其最大值。这样就找到了递推关系。需要注意的是，dp[i]所表述的是前i个元素中包含nums[i]元素的最长上升子序列，并不是前i元素的最长上升子序列，因此需要再此遍历一遍dp数组找到最大值。下面给出代码。

public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if(nums == null)
            return 0;
        if(nums.length<2)
            return nums.length;
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = 1;
        int i=0,j=0;
        int ans = 1;
        for(i=1;i<nums.length;++i){
            dp[i] = 1;
            for (j=0;j<i;++j){
                if(nums[i]>nums[j])
                    dp[i] = Math.max(dp[j]+1,dp[i]);

            }
            ans = Math.max(ans, dp[i]);
        }
        return ans;
    }