1.应用场景-修路问题
看一个应用场景和问题:
- 有胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ,现在需要修路把 7 个村庄连通
- 各个村庄的距离用边线表示( 权) 如 ,比如 A – – B 离 距离 5 公里
- 问:如何修路保证各个村庄都能连通,并且总的修建公路总里程最短?
思路:
将 10 条边,连接即可,但是总的里程数不是最小
正确的思路,就是尽可能的选择少的路线,并且每条路线最小,保证总里程数最少
2.最小生成树
修路问题本质就是就是 最小生成树问题 , 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree), 简称 MST 。给定一个带权的无向连通图, 如何选取一棵生成树, 使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树。
- N 个顶点,一定有 N-1 条边
- 包含全部顶点
- N-1 条边都在图中
- 举例说明( 如图:)
- 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法
3.普里姆算法介绍
普利姆(Prim)算法求最小生成树,也就是在包含 n 个顶点的连通图中,找出只有(n-1)条边包含所有 n 个顶点的连通子图,也就是所谓的极小连通子图普利姆的算法如下:
- 设 G=(V,E)是连通网,T=(U,D)是最小生成树,V,U 是顶点集合,E,D 是边的集合
- 若从顶点 u 开始构造最小生成树,则从集合 V 中取出顶点 u 放入集合 U 中,标记顶点 v 的 visited[u]=1
- 若集合 U 中顶点 ui 与集合 V-U 中的顶点 vj 之间存在边,则寻找这些边中权值最小的边,但不能构成回路,将顶点 vj 加入集合 U 中,将边(ui,vj)加入集合 D 中,标记 visited[vj]=1
- 重复步骤②,直到 U 与 V 相等,即所有顶点都被标记为访问过,此时 D 中有 n-1 条边
- 提示: 单独看步骤很难理解,我们通过代码来讲解,比较好理解.
- 图解普利姆算法
4.普里姆算法最佳实践(修路问题)
- 有胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ,现在需要修路把 7 个村庄连通
- 各个村庄的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 5 公里
- 问:如何修路保证各个村庄都能连通,并且总的修建公路总里程最短?
- 韩老师思路分析+代码演示:
import java.util.Arrays;
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
//测试看看图是否创建 ok
char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
int verxs = data.length;
//邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000 这个大数,表示两个点不联通
int [][]weight=new int[][]{
{10000,5,7,10000,10000,10000,2},
{5,10000,10000,9,10000,10000,3},
{7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
{10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
{10000,10000,8,10000,10000,5,4},
{10000,10000,10000,4,5,10000,6},
{2,3,10000,10000,4,6,10000},};
//创建 MGraph 对象
MGraph graph = new MGraph(verxs);
//创建一个 MinTree 对象
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
//输出
minTree.showGraph(graph);
//测试普利姆算法
minTree.prim(graph, 1);//
}
}
//创建最小生成树->村庄的图
class MinTree {
//创建图的邻接矩阵
/**
*
* @param graph 图对象
* @param verxs 图对应的顶点个数
* @param data 图的各个顶点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
int i, j;
for(i = 0; i < verxs; i++) {//顶点
graph.data[i] = data[i];
for(j = 0; j < verxs; j++) {
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}
//显示图的邻接矩阵
public void showGraph(MGraph graph) {
for(int[] link: graph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//编写 prim 算法,得到最小生成树
/**
*
* @param graph 图
* @param v 表示从图的第几个顶点开始生成'A'->0 'B'->1...
*/
public void prim(MGraph graph, int v) {
//visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过
int visited[] = new int[graph.verxs];
//visited[] 默认元素的值都是 0, 表示没有访问过
// for(int i =0; i <graph.verxs; i++) {
// visited[i] = 0;
// }
//把当前这个结点标记为已访问
visited[v] = 1;
//h1 和 h2 记录两个顶点的下标
int h1 = -1;
int h2 = -1;
int minWeight = 10000; //将 minWeight 初始成一个大数,后面在遍历过程中,会被替换
for(int k = 1; k < graph.verxs; k++) {//因为有 graph.verxs 顶点,普利姆算法结束后,有 graph.verxs-1 边
//这个是确定每一次生成的子图 ,和哪个结点的距离最近
for(int i = 0; i < graph.verxs; i++) {// i 结点表示被访问过的结点
for(int j = 0; j< graph.verxs;j++) {//j 结点表示还没有访问过的结点
if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
//替换 minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)
minWeight = graph.weight[i][j];
h1 = i;
h2 = j;
}
}
}
//找到一条边是最小
System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);
//将当前这个结点标记为已经访问
visited[h2] = 1;
//minWeight 重新设置为最大值 10000
minWeight = 10000;
}
}
}
class MGraph {
int verxs; //表示图的节点个数
char[] data;//存放结点数据
int[][] weight; //存放边,就是我们的邻接矩阵
public MGraph(int verxs) {
this.verxs = verxs;
data = new char[verxs];
weight = new int[verxs][verxs];
}
}
- 代码实现(自己):
/**
* 普里姆算法(修路问题)
*/
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
int verxs = data.length;
MGraph graph = new MGraph(verxs);
int[][] weight = new int[][]{
{10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
{5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
{7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
{10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
{10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
{10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
{2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000}
};
MinTree minTree = new MinTree();
//创建图的邻接矩阵
minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
//显示图的邻接矩阵
minTree.showGraph(graph);
//prim 算法,得到最小生成树
minTree.prim(graph, 0);
}
//创建最小生成树->村庄的图
static class MinTree {
//创建图的邻接矩阵
/**
* @param graph 图对象
* @param verxs 图对应的顶点个数
* @param data 图的各个顶点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
for (int i = 0; i < verxs; i++) {
graph.data[i] = data[i];
for (int j = 0; j < verxs; j++) {
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}
//显示图的邻接矩阵
public void showGraph(MGraph graph) {
for (int[] link : graph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//编写 prim 算法,得到最小生成树
/**
* @param graph 图
* @param v 表示从图的第几个顶点开始生成'A'->0 'B'->1...
*/
public void prim(MGraph graph, int v) {
//visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过
int visited[] = new int[graph.verxs];
//visited[] 默认元素的值都是 0, 表示没有访问过
// for(int i =0; i <graph.verxs; i++) {
// visited[i] = 0;
// }
//把当前这个结点标记为已访问
visited[v] = 1;
//大循环
for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) {//因为有 graph.verxs 顶点,普利姆算法结束后,有 graph.verxs-1 边
//h1 和 h2 记录两个顶点的下标
int h1 = -1;
int h2 = -1;
//将 minWeight 初始成一个大数
int minWeight = 10000;
//这个是确定每一次生成的子图 ,和哪个结点的距离最近
for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {// i 结点表示被访问过的结点
for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {//j 结点表示还没有访问过的结点
if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
//替换 minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)
minWeight = graph.weight[i][j];
h1 = i;
h2 = j;
}
}
}
//找到一条边是最小
if (minWeight < 10000) {
//将当前这个结点标记为已经访问
visited[h2] = 1;
System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "->" + graph.data[h2] + ">" + graph.weight[h1][h2]);
}
}
}
}
/**
* 图
*/
static class MGraph {
int verxs; //表示图的节点个数
char[] data;//存放结点数据
int[][] weight; //存放边,就是我们的邻接矩阵
public MGraph(int verxs) {
this.verxs = verxs;
data = new char[verxs];
weight = new int[verxs][verxs];
}
}
}
- 运行结果:
[10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2]
[5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3]
[7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000]
[10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000]
[10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4]
[10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6]
[2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000]
边<B->G>3
边<G->A>2
边<G->E>4
边<E->F>5
边<F->D>4
边<A->C>7