【AGC031E】Snuke the Phantom Thief（费用流）

先假设只有一维的情况。

考虑枚举偷的珠宝的个数 $k$，且假设它们按照坐标大小排好了序。

那么可以将条件转化一下，大于等于 $a_i$ 的最多取 $b_i$ 个可以转化为取的前 $k-b_i$ 个珠宝的坐标要小于 $a_i$。

同理，小于等于 $a_i$ 的最多可以取 $b_i$ 个可以转化为取的后 $k-b_i$ 个珠宝的坐标要大于 $a_i$。

那么这样的话，就可以计算出取的每个珠宝坐标的取值范围 $[l,r]$。

二维同理，我们只需要将他们分别按横纵坐标排序就好了。

那么我们只需要判断是否有可行方案，以及在有可行方案的情况下的最大收益。

考虑费用流：

• $S$ 向左边 $k$ 个点连边 $(1,0)$。（第一位表示容量，第二位表示费用）

• 左边 $k$ 个点按照各自的横坐标限制向中间 $n$ 个点中的满足限制的点的入点连边 $(1,0)$。

• 中间 $n$ 个点入点向出点连边 $(1,v_i)$。

• 中间 $n$ 个点的出点向右边 $k$ 个点中满足纵坐标限制的点连边 $(1,0)$。

• 右边 $k$ 个点向 $T$ 连边 $(1,0)$。

然后跑最大费用最大流即可。

注意左边的第 $i$ 个点和右边的第 $i$ 个点不一定流的是同一个中间的宝藏点，因为左边 $k$ 个点是按横坐标排序后的，右边 $k$ 个点是按纵坐标排序后的，所以同一个点在左右两边的排名可能不同。

#include<bits/stdc++.h>

#define N 85
#define M 325
#define ll long long
#define INF 0x7fffffff

using namespace std;

struct Point
{
	int x,y;
	ll v;
}p[N];

struct Limit
{
	char c;
	int a,b;
}l[M];

int n,m,s,t;
int minx[N],maxx[N],miny[N],maxy[N];
int cnt=1,head[N*4],to[N*6+N*N*4],nxt[N*6+N*N*4],c[N*6+N*N*4];
int maxflow,pre[N*4];
ll ans,maxcost,w[N*6+N*N*4],dis[N*4];
bool inq[N*4];

queue<int>q;

void adde(int u,int v,int ci,ll wi)
{
	to[++cnt]=v;
	c[cnt]=ci;
	w[cnt]=wi;
	nxt[cnt]=head[u];
	head[u]=cnt;
	
	to[++cnt]=u;
	c[cnt]=0;
	w[cnt]=-wi;
	nxt[cnt]=head[v];
	head[v]=cnt;
}

bool SPFA()
{
	memset(dis,128,sizeof(dis));
	q.push(s);
	dis[s]=0;
	inq[s]=1;
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		inq[u]=0;
		for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
		{
			int v=to[i];
			if(c[i]&&dis[u]+w[i]>dis[v])
			{
				dis[v]=dis[u]+w[i];
				pre[v]=i;
				if(!inq[v])
				{
					q.push(v);
					inq[v]=1;
				}
			}
		}
	}
	return dis[t]!=dis[0];
}

void MCMF()
{
	maxflow=maxcost=0;
	while(SPFA())
	{
		int minflow=INF;
		for(int u=t;u!=s;u=to[pre[u]^1]) minflow=min(minflow,c[pre[u]]);
		for(int u=t;u!=s;u=to[pre[u]^1])
		{
			c[pre[u]]-=minflow;
			c[pre[u]^1]+=minflow;
			maxcost+=w[pre[u]]*minflow;
		}
		maxflow+=minflow;
	}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d%lld",&p[i].x,&p[i].y,&p[i].v);
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>l[i].c;
		scanf("%d%d",&l[i].a,&l[i].b);
	}
	for(int k=1;k<=n;k++)
	{
		cnt=1;
		memset(minx,128,sizeof(minx));
		memset(miny,128,sizeof(miny));
		memset(maxx,127,sizeof(maxx));
		memset(maxy,127,sizeof(maxy));
		memset(head,0,sizeof(head));
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			if(k<=l[i].b) continue;
			if(l[i].c=='L')
				for(int j=l[i].b+1;j<=k;j++)
					minx[j]=max(minx[j],l[i].a+1);
			if(l[i].c=='R')
				for(int j=k-l[i].b;j>=1;j--)
					maxx[j]=min(maxx[j],l[i].a-1);
			if(l[i].c=='D')
				for(int j=l[i].b+1;j<=k;j++)
					miny[j]=max(miny[j],l[i].a+1);
			if(l[i].c=='U')
				for(int j=k-l[i].b;j>=1;j--)
					maxy[j]=min(maxy[j],l[i].a-1);
		}
		s=1,t=1+k+n*2+k+1;
		for(int i=1;i<=k;i++)
		{
			adde(s,1+i,1,0);
			adde(1+k+n*2+i,t,1,0);
			for(int j=1;j<=n;j++)
			{
				if(minx[i]<=p[j].x&&p[j].x<=maxx[i])
					adde(1+i,1+k+j,1,0);
				if(miny[i]<=p[j].y&&p[j].y<=maxy[i])
					adde(1+k+n+j,1+k+n*2+i,1,0);
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
			adde(1+k+i,1+k+n+i,1,p[i].v);
		MCMF();
		if(maxflow==k)
			ans=max(ans,maxcost);
	}
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}

注：部分引用了巨佬 justin_cao 的博客。