[第二类斯特林数]自然数幂求和

定义

现在我们要求：$$S_m(n)=sum_{k=0}^n k^m$$

其中(m>0)。

分析

[egin{align*} S_m(n-1)&=sum_{k=0}^{n-1}k^m\ &=sum_{k=0}^{n-1}sum_{j=0}^m{mrace j}k^underline{j} ag{将普通幂展开为阶乘幂}\ &=sum_{j=0}^m{mrace j}sum_{k=0}^{n-1}k^underline{j} ag{交换求和次序}\ &=sum_{j=0}^m{mrace j}sideset{}{_0^n}sum x^underline{j}delta x ag{写成离散微积分形式}\ &=sum_{j=0}^m{mrace j}left.frac{x^underline{j+1}}{j+1} ight|_0^n ag{逆差分}\ &=sum_{j=0}^m{mrace j}frac{n^underline{j+1}}{j+1} ag{化简} end{align*}]

用(n+1)代替(n)：

[egin{align*} S_m(n)&=sum_{j=0}^m{mrace j}frac{(n+1)^underline{j+1}}{j+1}\ &=(n+1)sum_{j=0}^m{mrace j}frac{n^underline{j}}{j+1} end{align*}]

用递推式(O(m^2))或者NTT(O(mlog m))预处理第二类斯特林数，然后就可以直接(O(m))递推了。

推广

要求(S_m(n))的一个关于(n)的多项式。

展开为幂级数：

[egin{align*} S_m(n)&=(n+1)sum_{k=0}^m{mrace k}frac{n^{underline k}}{k+1}\ &=(n+1)sum_{k=0}^m{mrace k}frac{1}{k+1}sum_{j=0}^m{krack j}(-1)^{k-j}n^j\ &=(n+1)sum_{k=0}^msum_{j=0}^m{mrace k}frac{1}{k+1}{krack j}(-1)^{k-j}n^j\ &=(n+1)sum_{j=0}^mn^jsum_{k=0}^m{mrace k}frac{1}{k+1}{krack j}(-1)^{k-j}\ end{align*}]

则我们令：

[egin{align*} T(x)&=sum_{k=0}^m{mrace k}frac{1}{k+1}{krack x}(-1)^{k-x}\ &=(-1)^xsum_{k=0}^m{mrace k}{krack x}frac{(-1)^k}{k+1} end{align*}]

则有：$$S_m(n)=sum_{j=1}^{m+1} n^j[T(j)+T(j-1)]$$

这样，我们就得到了一个(O(m^2))的算法 。

代码

给出(n)、(m)，求(S_m(n))

所有结果对(998244353)取模。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll p=998244353;
ll add(ll a,ll b){return a+b>=p?a+b-p:a+b;}
ll cut(ll a,ll b){return a-b<0?a-b+p:a-b;}
ll mul(ll a,ll b){return a*b%p;}
ll pow(ll a,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
ll div(ll a,ll b){return mul(a,pow(b,p-2));}
int n,m;
ll ans,S2[1001][1001];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	S2[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;j<=m;j++)S2[i][j]=add(S2[i-1][j-1],mul(S2[i-1][j],j));
	ll facpw=n;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		ans=add(ans,mul(S2[m][i],div(facpw,i+1)));
		facpw=mul(facpw,n-i);
	}
	ans=mul(ans,n+1);
	printf("%lld
",ans);
}

给出(m)，求多项式(S_m(n))

结果为(x^0,x^1,x^2,cdots,x^{m+1})的系数。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll p=998244353;
inline ll add(ll a,ll b){return a+b>=p?a+b-p:a+b;}
inline ll cut(ll a,ll b){return a-b<0?a-b+p:a-b;}
inline ll mul(ll a,ll b){return a*b%p;}
inline ll pow(ll a,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
inline ll div(ll a,ll b){return mul(a,pow(b,p-2));}
int m;
ll S1[1001][1001],S2[1001][1001],t[1001];
bool fir;
int main(){
    scanf("%d",&m);
    S1[0][0]=S2[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            S1[i][j]=add(S1[i-1][j-1],mul(S1[i-1][j],(i-1)));
            S2[i][j]=add(S2[i-1][j-1],mul(S2[i-1][j],j));
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            ll pw=(j%2?p-1:1);
            t[i]=add(t[i],mul(mul(S2[m][j],S1[j][i]),div(pw,j+1)));
        }
        t[i]=mul(t[i],i%2?p-1:1);
    }
    for(int i=0;i<=m+1;i++)printf("%lld ",add(t[i],t[i-1]));
}