hdu 5852 ：Intersection is not allowed! 行列式

有K个棋子在一个大小为N×N的棋盘。一开始，它们都在棋盘的顶端，它们起始的位置是 (1,a1),(1,a2),...,(1,ak) ，它们的目的地是 (n,b1),(n,b2),...,(n,bk)。

一个位于 (r,c) 的棋子每一步只能向右走到 (r,c+1) 或者向下走到 (r+1,c) 。

我们把 i 棋子从 (1,ai) 走到 (n,bi) 的路径记作 pi 。

你的任务是计算有多少种方案把n个棋子送到目的地，并且对于任意两个不同的棋子 i,j ，使得路径 pi 与 pj 不相交（即没有公共点）。

容斥原理。

假设只有两个点，那么答案就是它们以任意路径到达终点的方案数减去相交的方案。

比如 a1->b1 ,a2->b2 ，那它们相交的方案就是 a1->b2,a2->b1的所有方案。

因为在最后一个交点下把两条路径换一下它们是一一对应的。

扩展到多个点时有$n!$种向下对应对应的方案，每个方案的容斥系数是$-1^{逆序对个数}$。

实际上这东西就是矩阵的行列式。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define N 105
using namespace std;
int n,k;
const int inf = 200000;
const int p = 1000000007;
int jie[200005],ni[200005];
void yu()
{
    jie[0]=ni[0]=ni[1]=1;
    for(int i=1;i<=inf;i++)jie[i]=1LL*i*jie[i-1]%p;
    for(int i=2;i<=inf;i++)ni[i]=(1LL*(-p/i)*ni[p%i]%p+p)%p;
    for(int i=1;i<=inf;i++)ni[i]=1LL*ni[i-1]*ni[i]%p;
}
int pw(ll x,int y)
{
    ll lst=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)lst=lst*x%p;
        y>>=1;
        x=1LL*x*x%p;
    }
    return (int)lst;
}
int c(int n,int m)
{
    return 1LL*jie[n]*ni[m]%p*ni[n-m]%p;
}
int st[N],ed[N];
ll a[N][N];
void guess()
{
    ll ans=1;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        for(int j=i;j<=k;j++)
        {
            if(a[j][i])
            {
                if(j!=i)ans*=-1;
                for(int l=1;l<=k;l++)swap(a[i][l],a[j][l]);
                break;
            }
        }
        ll tp=pw(a[i][i],p-2);
        for(int j=i+1;j<=k;j++)
        {
            if(a[j][i])
            {
                ll tmp=p-tp*a[j][i]%p;
                for(int l=i;l<=k;l++)
                {
                    a[j][l]=(a[j][l]+tmp*a[i][l]%p)%p;
                }
            }
        }
    }
    if(ans==-1)ans=p-1;
    for(int i=1;i<=k;i++)ans=ans*a[i][i]%p;
    printf("%lld
",ans);
    return ;
}
int main()
{
    yu();
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=k;i++)scanf("%d",&st[i]);
    for(int i=1;i<=k;i++)scanf("%d",&ed[i]);
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        for(int j=1;j<=k;j++)
        {
            if(ed[j]>=st[i])a[i][j]=c(n-1+abs(ed[j]-st[i]),n-1);
        }
    }
    guess();
    return 0;
}