1 前言
除了 9n±4 型自然数外，所有 100 以内的自然数都能写成三个整数的立方和。
2 正文
1 = (-1)³ + 1³ + 1³
2 = 7³ + (-5)³ + (-6)³
3 = 1³ + 1³ + 1³
4 不可能
5 不可能
6 = (-1)³ + (-1)³ + 2³
7 = 104³ + 32³ + (-105)³
8 = (-1)³ + 1³ + 2³
9 = 217³ + (-52)³ + (-216)³
10 = 1³ + 1³ + 2³
11 = (-2)³ + (-2)³ + 3³
12 = 7³ + 10³ + (-11)³
13 不可能
14 不可能
15 = (-1)³ + 2³ + 2³
16 = (-511)³ + (-1609)³ + 1626³
17 = 1³ + 2³ + 2³
18 = (-1)³ + (-2)³ + 3³
19 = 19³ + (-14)³ + (-16)³
20 = 1³ + (-2)³ + 3³
21 = (-11)³ + (-14)³ + 16³
22 不可能
23 不可能
24 = (-2901096694)³ + (-15550555555)³ + 15584139827³
25 = (-1)³ + (-1)³ + 3³
26 = 297³ + 161³ + (-312)³
27 = (-1)³ + 1³ + 3³
28 = 14³ + 13³ + (-17)³
29 = 1³ + 1³ + 3³
30 = (-283059965)³ + (-2218888517)³ + 2220422932³
31 不可能
32 不可能
33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³
34 = (-1)³ + 2³ + 3³
35 = 14³ + (-8)³ + (-13)³
36 = 1³ + 2³ + 3³
37 = 50³ + 37³ + (-56)³
38 = 1³ + (-3)³ + 4³
39 = 117367³ + 134476³ + (-159380)³
40 不可能
41 不可能
42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³
43 = 2³ + 2³ + 3³
44 = (-5)³ + (-7)³ + 8³
45 = 2³ + (-3)³ + 4³
46 = (-2)³ + 3³ + 3³
47 = 6³ + 7³ + (-8)³
48 = (-23)³ + (-26)³ + 31³
49 不可能
50 不可能
51 = 602³ + 659³ + (-796)³
52 = 23961292454³ + 60702901317³ + (-61922712865)³
53 = (-1)³ + 3³ + 3³
54 = (-7)³ + (-11)³ + 12³
55 = 1³ + 3³ + 3³
56 = (-11)³ + (-21)³ + 22³
57 = 1³ + (-2)³ + 4³
58 不可能
59 不可能
60 = (-1)³ + (-4)³ + 5³
61 = 845³ + 668³ + (-966)³
62 = 3³ + 3³ + 2³
63 = 7³ + (-4)³ + (-6)³
64 = (-1)³ + 1³ + 4³
65 = 91³ + 85³ + (-111)³
66 = 1³ + 1³ + 4³
67 不可能
68 不可能
69 = 2³ + (-4)³ + 5³
70 = 11³ + 20³ + (-21)³
71 = (-1)³ + 2³ + 4³
72 = 7³ + 9³ + (-10)³
73 = 1³ + 2³ + 4³
74 = (-284650292555885)³ + (66229832190556)³ + (283450105697727)³
75 = 4381159³ + 435203083³ + (-435203231)³
76 不可能
77 不可能
78 = 26³ + 53³ + (-55)³
79 = (-19)³ + (-33)³ + 35³
80 = 69241³ + 103532³ + (-112969)³
81 = 10³ + 17³ + (-18)³
82 = (-11)³ + (-11)³ + 14³
83 = (-2)³ + 3³ + 4³
84 = (-8241191)³ + (-41531726)³ + 41639611³
85 不可能
86 不可能
87 = (-1972)³ + (-4126)³ + 4271³
88 = 3³ + (-4)³ + 5³
89 = 6³ + 6³ + (-7)³
90 = (-1)³ + 3³ + 4³
91 = 364³ + 192³ + (-381)³
92 = 1³ + 3³ + 4³
93 = (-5)³ + (-5)³ + 7³
94 不可能
95 不可能
96 = 10853³ + 13139³ + (-15250)³
97 = (-1)³ + (-3)³ + 5³
98 = 14³ + 9³ + (-15)³
99 = 2³ + 3³ + 4³
100 = 7³ + (-3)³ + (-6)³
-------------------------------------------------
附加：3的整数解第一组和第二组
第三组整数解：
3 过程
1992 年，数学家 Roger Heath-Brown 提出了一个猜想：对于一个正整数k，如果它除以 9 的余数不是 4 或5（k不等于 9n±4），那么k就可以表示成三个整数的立方之和。而且每个k都有无穷多组整数解。
1993年5月25日的一封电子邮件中，Andrew Bremner告诉盖伊有：
75 = 435203083³+(-435203231)³+4381159³
2000 年，美国哈佛大学的诺姆 · 埃尔吉斯提出了一个实用的算法，成功找到了许多较小整数的立方和算式。
2015 年，数学家蒂姆 · 布朗宁发布了一段解释该问题的视频。当时小于 100 的整数几乎都被解决，只剩下 33、42 和 74 这三个数。
说明：对于k小于 100 的情况，2019 年之前只有k=33、42 没有找到整数解。
2019 年 3 月，33 告破：
33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³
2019 年 9 月，麻省理工的 Andrew Sutherland 和布里斯托大学 Andrew Booker 的两位安德鲁找到了 42 的答案：
42 = (-80538738812075974)³ + （80435758145817515)³ + （12602123297335631)³
至此100以内的答案全部找到。
论文：
附加1000以内
2007年，Michael Beck, Eric Pine,Wayne Tarrant与Kim Yarbrough Jensen这四位数学家的论文指出小于1000的数还没有找到解的剩下：
33, 42, 74, 114, 156, 165, 318, 366, 390, 420, 543, 579, 609, 627, 633, 732, 758, 786, 789, 795, 903, 906 ,921, 948, 975
2016年，Sander G. Huisman指出小于1000的数还没有找到解的就剩：
33, 42, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975
4 扩展资料
[1] x3+y3+z3=3第三组整数解是多少？这个58年难题被40万台电脑算出来了
[2] 人类第一次将42写成3个整数的立方和！100以内全部解决
[3] On a question of Mordell（论文）
[4] 3的三个整数立方和有多少个解？全球40万台计算机助力，MIT研究登上PNAS
[6] https://mp.weixin.qq.com/s/7_lO1bIZynWX8_NNZviV5g