Leetcode 327. 区间和的个数 (前缀和 + 离散化 + 树状数组)
题目
题意
有多少个连续的子数组,其和在([lower, upper])之间
题解
可以想到的做法:用前缀和在(O(1))查询([i, j])的和,枚举所有的二元组([i, j]), 满足条件就加上。
可以优化为:(Pre)为前缀和数组, 从小到大枚举 (j), 由于( extit{lower} leq Pre[j] - Pre[i-1] leq extit{upper}) ,可以得到 (P[i-1]) 满足(Pre[j] - extit{upper} leq Pre[i-1] leq Pre[j] - extit{lower}) ,通过枚举(j),可以将([Pre[j] - extit{upper}, Pre[j] - extit{lower}]) 看做([L, R]), 之后查询所有([L, R])内的个数即为答案。
- 前缀和
使用前缀和算出子数组([i, j])的和(Pre[j]-Pre[i])。
- 离散化
由于数据范围较大,因此可以通过离散化降低数据。我们可以将(Pre[j] - extit{upper}, Pre[j] - extit{lower}, Pre[j]) 一起排序后进行离散化。
- 树状数组 / 线段树 / 平衡树
这些数据结构都满足在(O(logn)) 的时间复杂度查询([L, R])内的和。
代码
#define ll long long
class Solution {
public:
vector<int> tree;
int n;
int lowbits(int x){
return x & (-x);
}
void update(int x){
while(x <= n){
tree[x] += 1;
x += lowbits(x);
}
}
int query(int x){
int res = 0;
while(x){
res += tree[x];
x -= lowbits(x);
}
return res;
}
int countRangeSum(vector<int>& nums, int lower, int upper) {
ll sums = 0;
vector<ll> preSum = {0};
for(int x : nums){
sums += x;
preSum.emplace_back(sums);
}
set<ll> st;
for(auto x : preSum){
st.insert(x - lower);
st.insert(x);
st.insert(x - upper);
}
// 离散化
unordered_map<ll, int> p;
int c = 0;
for(auto x : st) p[x] = c++;
int res = 0;
n = p.size();
tree = vector<int> (n+5, 0);
// cout << n << endl;
for(auto x : preSum){
int left = p[x-upper], right = p[x-lower];
res += query(right+1) - query(left);
// cout << x << " " << right << " " << query(right+1) << " " << left << " " << query(left) << endl;
update(p[x]+1);
}
return res;
}
};