题意
给定一棵 (n) 个结点的树，你从点 (x) 出发，每次等概率随机选择一条与所在点相邻的边走过去。
有 (Q) 次询问，每次询问给定一个集合 (S)，求如果从 (x) 出发一直随机游走，直到点集 (S) 中所有点都至少经过一次的话，期望游走几步。
(1leq nleq 18)，(1leq Qleq 5000) .
Solution
题意即为求集合中最后一个点被访问的期望时间。考虑 ( ext{min-max}) 容斥，转化为第一个点被访问的期望时间 (E(min(S)))
(2^n) 枚举所有子集 (S) ，设 (f(u)) 表示从 (u) 号点出发第一次走到子集 (S) 中的点的期望时间。若 (u) 在集合中则 (f(u)=0) ，否则
[f(u)=1+d_uf(fa_u) +d_u(sum f(ch_u))
]
（其中 (d_u=frac{1}{deg[u]})，(deg[u]) 表示 (u) 的度数。 )
设 (f_u=k_uf(fa_u)+b_u) 。
令 (sk_u=sum k_{ch_u}, sb_u=sum b_{ch_u},)
[egin{align*}
f(u) &=1+d_uf(fa_u) +d_u(sk_uf(u)+sb_u) \
(1-sk_u)f(u) &=d_uf(fa_u)+d_usb_u+1
end{align*}
]
由上式可得:
[k_u=frac{d_u}{1-sk_u}, b_u=frac{d_usb_u+1}{1-sk_u}
]
故我们直接一边 dfs 即可求出。
最后高维前缀和求 (E(max(S))) ，询问直接输出即可。复杂度 (O(ncdot 2^n)) 。
#include<bits/stdc++.h>
const int N=21,M=(1<<18)+5,Mod=998244353;
int head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],n,q,x,s,d[N],f[M],k[N],b[N];
inline int mul(int x, int y) { return 1ll*x*y%Mod; }
inline int po(int x, int y)
{
int r=1;
while(y)
{
if(y&1) r=mul(r,x);
x=mul(x,x), y>>=1;
}
return r;
}
void addedge(int u, int v, int now) {
nxt[now]=head[u], head[u]=now, to[now]=v;
}
void dfs(int u, int fa)
{
k[u]=b[u]=0;
if(s&(1<<u-1)) return ;
int sk=0,sb=0;
for(int e=head[u];e;e=nxt[e])
{
if(to[e]==fa) continue;
dfs(to[e],u);
sk=(sk+k[to[e]])%Mod,sb=(sb+b[to[e]])%Mod;
}
int tmp=po(Mod+1-mul(d[u],sk),Mod-2);
k[u]=mul(d[u],tmp),b[u]=mul(mul(d[u],sb)+1,tmp);
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&q,&x);
for(int i=1;i<n;++i)
{
int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
addedge(u,v,i*2-1);
addedge(v,u,i*2);
++d[u],++d[v];
}
for(int i=1;i<=n;++i) d[i]=po(d[i],Mod-2);
for(s=1;s<(1<<n);++s)
{
dfs(x,x);
f[s]=__builtin_popcount(s)&1?b[x]:Mod-b[x];
}
for(int i=0;i<n;++i)
for(int j=0;j<(1<<n);++j)
if(j&(1<<i)) f[j]=(f[j]+f[j^(1<<i)])%Mod;
while(q--)
{
int k,now=0; scanf("%d",&k);
for(int i=1;i<=k;++i)
{
int x; scanf("%d",&x);
now|=(1<<x-1);
}
printf("%d
",f[now]);
}
}