历史来源
讲述历史来源，不喜欢的可以跳过。但是我个人认为这对理解有帮助。
在计算机的世界中，有两位巨擘对问题的可计算性做了模型化描述[4]。
一位是阿兰.图灵（Alan Turing），他提出的图灵机。计算机系的各种学科中都充斥着这个概念，假设有一个纸带和一个打孔机，然后有一套指令，能够控制打孔机在纸带上移动、能够读取当前位置是否打了孔、能够在当前位置打一个孔，这就是一个图灵机，假设一个问题能够靠这个纸带+打孔机+指令的方式解决，那就说明这个问题是“可计算的”。
另外一个位巨擘，是阿隆佐·邱奇（Alonzo Church）。邱奇是个数学家，他提出了Lambda演算(Lambda Calculus)的概念，用函数组合的方式来描述计算过程，换句话来说，如果一个问题能够用一套函数组合的算法来表达，那就说明这个问题是可计算的。
我个人对这两种计算过程的模型是这样理解的，不一定对：
图灵机是通过一系列指令和状态来完成某种过程的，即，在某种状态下使用怎样的指令转移到某种状态。
Lambda演算是通过一个函数来解决这个问题，而这个函数又是由一系列别的函数组成，这样递归下去，最终达到常量。有些类似动态规划那种一个问题由多个子问题组成，子问题又有自己的子问题，最后到达一些已知解的问题。
不是全部的Lambda演算思想都可以运用到实际中，因Lambda演算在设计的时候就不是为了在各种现实世界中的限制下工作的。
编程范式
编程语言主要有三种类型[3]：
命令式编程（Imperative Programming）: 专注于”如何去做”，这样不管”做什么”，都会按照你的命令去做。解决某一问题的具体算法实现。
函数式编程（Functional Programming）：把运算过程尽量写成一系列嵌套的函数调用。
逻辑式编程（Logical Programming）：它设定答案须符合的规则来解决问题，而非设定步骤来解决问题。过程是事实+规则=结果。
关于这个问题也有一些争议，有人把函数式归结为声明式的子集，还有一些别的七七八八的东西，这里就不做阐述了。
声明式编程：专注于”做什么”而不是”如何去做”。在更高层面写代码，更关心的是目标，而不是底层算法实现的过程。
如， css, 正则表达式，sql 语句，html，xml…
在这儿来对比一下命令式和函数式的一些区别。
命令式编程
命令式编程是通过赋值（由表达式和变量组成，assignment，我觉得翻译成任务有点奇怪，也不懂翻译成赋值行不行）以及控制结构（如，条件分支、循环语句等）来修改可修改的变量。
它的运作方式具有图灵机特性，且和冯诺依曼体系的对应关系非常密切。甚至可以说，命令式程序就是一个冯诺依曼机的指令序列：
变量 →
内存
变量引用 →
输入设备
变量赋值 →
输出设备
控制结构 →
跳转操作
我们知道的，冯诺依曼结构需要用总线来传输数据，我们只能一个字节一个字节处理。
这也就形成了运行的瓶颈。程序执行的效率取决于执行命令的数量，因此才会出现大O表示法等等表示时间空间复杂度的符号。
函数式编程
相比于命令式编程关心解决问题的步骤，函数式编程是面向数学的抽象，关心数据（代数结构）之间的映射关系。函数式编程将计算描述为一种表达式求值。
在狭义上，函数式编程意味着没有可变变量，赋值，循环和其他的命令式控制结构。即，纯函数式编程语言。
Pure Lisp, XSLT, XPath, XQuery, FP
Haskell (without I/O Monad or UnsafPerformIO)
在广义上，函数式编程意味着专注于函数
Lisp, Scheme, Racket, Clojure
SML, Ocaml, F#
Haskell (full language)
Scala
Smalltalk, Ruby
函数
函数式编程中的函数，这个术语不是指命令式编程中的函数（我们可以认为C++程序中的函数本质是一段子程序Subroutine），而是指数学中的函数，即自变量的映射（一种东西和另一种东西之间的对应关系）。也就是说，一个函数的值仅决定于函数参数的值，不依赖其他状态。
在函数式语言中，函数被称为一等函数（First-class function），与其他数据类型一样，作为一等公民，处于平等地位，可以在任何地方定义，在函数内或函数外；可以赋值给其他变量；可以作为参数，传入另一个函数，或者作为别的函数的返回值。
纯函数
纯函数是这样一种函数，即相同的输入，永远会得到相同的输出，而且没有任何可观察的副作用。
不依赖外部状态
不改变外部状态
比如Javascript里slice和splice，这两个函数的作用相似[5]。
slice符合纯函数的定义是因为对相同的输入它保证能返回相同的输出。
splice却会嚼烂调用它的那个数组，然后再吐出来；这就会产生可观察到的副作用，即这个数组永久地改变了。
var xs = [1,2,3,4,5];
// 纯的
xs.slice(0,3);
//=> [1,2,3]
xs.slice(0,3);
//=> [1,2,3]
xs.slice(0,3);
//=> [1,2,3]
// 不纯的
xs.splice(0,3);
//=> [1,2,3]
xs.splice(0,3);
//=> [4,5]
xs.splice(0,3);
//=> []
在函数式编程中，我们讨厌这种会改变数据的笨函数。我们追求的是那种可靠的，每次都能返回同样结果的函数，而不是像splice这样每次调用后都把数据弄得一团糟的函数，这不是我们想要的。
来看看另一个例子。
// 不纯的
var minimum = 21;
var checkAge = function(age) {
return age >= minimum;
};
// 纯的
var checkAge = function(age) {
var minimum = 21;
return age >= minimum;
};
在不纯的版本中，checkAge的结果将取决于minimum这个可变变量的值。换句话说，它取决于系统状态（system state）。
除了输入值之外的因素能够左右checkAge的返回值，不仅让它变得不纯，而且会增加程序的认知难度（cognitive load），使我们理解整个程序的时候都非常痛苦。甚至，这种依赖状态会影响系统的复杂度（http://www.curtclifton.net/storage/papers/MoseleyMarks06a.pdf）。
函数与方法
当然在现在很多（非纯）函数式编程语言中也有方法和函数的区别。比如scala[1]：
scala> def m(x:Int) = 2*x //定义一个方法
m: (x: Int)Int
scala> m //方法不能作为最终表达式出现
<console>:9: error: missing arguments for method m;
follow this method with '_' if you want to treat it as a partially applied function
m
^
scala> val f = (x:Int) => 2*x //定义一个函数
f: Int => Int = <function1>
scala> f //函数可以作为最终表达式出现
res9: Int => Int = <function1>
方法就是命令式编程中的函数，而函数则是函数式编程中的函数。
变量与表达式
纯函数式编程语言中的变量也不是命令式编程语言中的变量（存储状态的内存单元），而是数学代数中的变量，即一个值的名称。
变量的值是不可变的（immutable），也就是说不允许像命令式编程语言中那样能够多次给一个变量赋值。比如说在命令式编程语言我们写x = x + 1。
函数式语言中的条件语句，循环语句等也不是命令式编程语言中的控制语句，而是一种表达式。
“表达式”（expression）是一个单纯的运算过程，总是有返回值；
“语句”（statement）是执行某种操作(更多的是逻辑语句。)，没有返回值。
函数式编程要求，只使用表达式，不使用语句。也就是说，每一步都是单纯的运算，而且都有返回值。比如在Scala语言中，if else不是语句而是三元运算符，是有返回值的。
严格意义上的函数式编程意味着不使用可变的变量，赋值，循环和其他命令式控制结构进行编程。 当然，很多所谓的函数式编程语言并没有严格遵循这一类的准则，只有某些纯函数式编程语言，如Haskell等才是完完全全地依照这种准则设计的。
状态
首先要意识到，我们的程序是拥有“状态”的。 想一想我们调试C++程序的时候，经常会在某处设置一个断点。程序执行断点就暂停了，也就是说程序停留在了某一个状态上。
这个状态包括了当前定义的全部变量，以及一些当前系统的状态，比如打开的文件、网络的连接、申请的内存等等。具体保存的信息和语言有关系。
比如使用过Matlab、R之类的科学计算语言的朋友会知道，在退出程序的时候它会让你选择是否要保存当前的session，如果保存了，下次打开时候它会从这个session开始继续执行，而不是清空一切重来。你之前定义了一个变量x = 1，现在这个x还在那里，值也没变。
这个状态就是图灵机的纸带。有了状态，我们的程序才能不断往前推进，一步步向目标靠拢的。
函数式编程不一样。函数式编程强调无状态，不是不保存状态，而是强调将状态锁定在函数的内部，不依赖于外部的任何状态。更准确一点，它是通过函数创建新的参数或返回值来保存程序的状态的。
状态完全存在栈上。
函数一层层的叠加起来，其中每个函数的参数（是参数，不是变量）或返回结果来代表了程序的一个中间状态。如果你需要保存一个状态一段时间并且时不时的修改它，那么你可以编写一个递归函数。
举个例子，试着写一个计算斐波那契数的函数：
// C++
int fab(int n) {
return n == 1 || n == 2 ? 1 : fab(n - 1) + fab(n - 2);
}
-- Haskell
fab :: (Num a) => a -> a
fab n = if n == 1 || n == 2 then 1 else fab(n - 1) + fab(n - 2)
对于C++而言，调用fab(5)的过程是：
fab(5) →
fab(4) →
fab(3) →
fab(2)
→
fab(1)
→
fab(2)
→
fab(3) →
fab(2)
→
fab(1)
我们看到，fab(3)被求值了两遍。为了计算fab(5)，我们实际执行了8次函数调用。
对于Haskell而言，如果没有使用尾递归，那么情况和C++的调用方式相同。如果使用了尾递归优化，调用fab(5)的过程是：
fab(5) →
fab(4) →
fab(3) →
fab(2)
→
fab(1)
→
fab(2)
→
fab(3)
总共只有6次应用。注意我说的是应用而不是调用。因为函数式语言里的函数本意并不是命令式语言里面的“调用”或者“执行子程序”的语义，而是“函数与函数之间的关系”的意思。比如fab函数中出现的两次fab的应用，实际上说明要计算fab函数，必须先计算后续的两个fab函数。这并不存在调用的过程。因为所有的计算都是静态的。Haskell可以认为所有的fab都是已知的。因此实际上所有遇到的fab函数，Haskell只是实际地计算一次，然后就缓存了结果。
函数式编程的特性
高阶函数（Higher-order function）
偏应用函数（Partially Applied Functions）
柯里化（Currying）
闭包（Closure）
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作者：SuPhoebe
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/u013007900/article/details/79104110
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