前言
本文是基于你已经有一定的二叉排序树知识。如果你还是小白，可以参考我之前的博客：《数据结构：二叉搜索树（BST）的基本操作》。所以，在本文中不会再出现关于BST树的基本知识。
版本说明
著作权归作者所有。
商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
作者：Coding-Naga
发表日期： 2015年12月28日
链接：http://blog.csdn.net/lemon_tree12138/article/details/50393548
来源：CSDN
更多内容：分类 >> 算法与数学
概述
AVL树又叫做平衡二叉树。前言部分我也有说到，AVL树的前提是二叉排序树(BST或叫做二叉搜索树)。由于在生成BST树的过程中可能会出现线型树结构，比如插入的顺序是：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7..., n。在BST树中，比较理想的状况是每个子树的左子树和右子树的高度相等，此时搜索的时间复杂度是log(N)。可是，一旦这棵树演化成了线型树的时候，这个理想的情况就不存在了，此时搜索的时间复杂度是O(N)，在数据量很大的情况下，我们并不愿意看到这样的结果。
现在我们要做的事就是让BST在创建的过程中不要向线型树发展。方法就是让其在添加新节点的时候，不断调整树的平衡状态。
定义：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。
AVL树实现
1.类图
首先我们来看一下本文编写代码的类图（见图-1）。
因为考虑到图片内容的篇幅问题，类图中有一些地方的表述以eg.或getters(setters)省略掉了，详细内容请以代码为准。
知道策略模式或是看过我之前的博客《Java设计模式——策略模式》的都知道，这里我使用了策略模式来编写代码，4种不同的旋转方式明显的一个策略模式。这样一来，代码更加简捷，逻辑也更加清晰了。
图-1 AVL树程序类图
2.节点失衡
我们对于节点平衡有这样的定义：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。而这里提到的高度差，就是我们下面会引入的平衡因子：BF。
因为AVL树说到底还是一个二叉树，只有两个子节点。而且节点失衡的发生，是因为有一个新节点的插入，这个新插入的节点导致了某些节点左右子节点高度的不一致。所以我们可以枚举出以下4种情况的失衡状态。
(1)在一个节点的左子树的左子树上插入一个新节点。即LL。在这种情况下，我们可以通过将节点右旋使其平衡。如图-2所示；
图-2 LL单右旋操作
(2)在一个节点的右子树的右子树上插入一个新节点。即RR。在这种情况下，我们可以通过将节点左旋使其平衡。如图-3所示；
图-3 RR单左旋操作
(3)在一个节点的左子树的右子树上插入一个新节点。即LR。在这种情况下，我们不能直接通过将节点左旋或右来使其平衡了。这里需要两步来完成，先让树中高度较低的进行一次左旋，这个时候就变成了LL了。再进行一次单右旋操作即可。如图-4所示；
图-4 LR先左旋再右旋操作
(4)在一个节点的右子树的左子树上插入一个新节点。即RL。在这种情况下，我们不能直接通过将节点左旋或右来使其平衡了。这里需要两步来完成，先让树中高度较低的进行一次右旋，这个时候就变成了RR了。再进行一次单左旋操作即可。如图-5所示；
图-5 RL先右旋再左旋操作
3.旋转调节平衡
从上面对节点失衡的说明，以及图解。我想你已经对旋转的操作有了一个大概地认识了吧。从图中我们也可以看出，LL型和RR型、LR型和RL型是两个行为很相似地操作。其实他们互为对称。所以在下面的讲解中，我只针对LL型和LR型两种操作进行详细讲解，另外两种是类似的。
这里还有一点，可能读者会有一些不是太明白。就是我们在旋转的过程中，比如左旋，到底是怎么旋转法，以哪个节点为中心点旋转？
上面我们说到，失衡节点的平衡因子的绝对值是大于1的。AVL树失衡类型的判断都基于这个失衡节点的。也就是说LL型需要调整的是失衡节点的左子树的左子树，LR型需要调整的是失衡节点左子树的右子树。是不是有一点绕，看看上面的旋转操作图就应该知道了。那么，对于单旋转操作也就很简单了，就是以中间节点为中心旋转。而双旋转中，因为不是一次旋转，不能在一开始就确定旋转中心点，我们在第一次旋转的过程中，只是旋转后面的两个节点，并保证节点值的大小关系，如图-4所示。后面的问题就转化成了单旋转操作了。
LL型：
针对图-2所示的LL型失衡情况，可以看到节点15上是没有右孩子的，这个时候转成平衡之后，不用考虑节点15的右孩子与旋转平衡调节之后的节点20是否有冲突。
关键代码如下：
public class AdjustLL implements Adjustable {
@Override
public void adjust(AVLTree tree, Node imbalanceNode) {
Node parentNode = imbalanceNode.getParent();
Node leftNode = imbalanceNode.getLeft(); // 新添加的节点
resetImbalanceNode(imbalanceNode, leftNode);
resetLeftNode(tree, leftNode, imbalanceNode, parentNode);
resetParentNode(parentNode, leftNode);
}
/*
* 重置失衡节点
*
* @param imbalanceNode
* 失衡节点
*/
private void resetImbalanceNode(Node imbalanceNode, Node leftNode) {
... ...
}
/*
* 重置失衡节点的左节点
*
* @param leftNode
* 左节点
* @param imbalanceNode
* 失衡节点
* @param parentNode
* 父节点
*/
private void resetLeftNode(AVLTree tree, Node leftNode, Node imbalanceNode, Node parentNode) {
... ...
}
/*
* 重置父节点
*
* @param parentNode
* 父节点
* @param leftNode
* 左节点
*/
private void resetParentNode(Node parentNode, Node leftNode) {
... ...
}
}RR型：
类似LL型，详细代码请参见下面的GitHub源码。
RL型：
对于RL型的就比较麻烦一些了，比如我们现在插入的序列是这样的：{20, 15, 30, 40, 25, 23}。那么在调整平衡之前，我们的树结构是这样的（如图-6所示）：
图-6 RL型失衡
这时我们就不能直接进行一次左旋或是右旋就可以搞定的了。虽然我们不能一步直接达到我们的要求，但是分两步就可以了呀。操作图示参见图-7.
图-7 RL型失衡的旋转过程
第一次右旋的关键代码：
/*
* 第一次右旋
* (此处方法调用的顺序不要修改)
*
* @param tree
* AVL树
* @param imbalanceNode
* 失衡节点
* @param rightChildNode
* 失衡节点的右孩子
* @param rightLeftNode
* 失衡节点右孩子的左孩子
*/
private void firstRightAdjust(AVLTree tree, Node imbalanceNode, Node rightChildNode, Node rightLeftNode) {
firstRightChildAdjust(rightChildNode, rightLeftNode);
firstRightLeftAdjust(imbalanceNode, rightChildNode, rightLeftNode);
firstImbalanceAdjust(imbalanceNode, rightLeftNode);
}
/*
* 调整失衡节点
*
* @param imbalanceNode
* 失衡节点
* @param rightLeftNode
* 失衡节点右孩子的左孩子
*/
private void firstImbalanceAdjust(Node imbalanceNode, Node rightLeftNode) {
imbalanceNode.setRight(rightLeftNode);
imbalanceNode.resetHeight();
imbalanceNode.resetBF();
}
/*
* 调整失衡节点的右孩子
*
* @param rightChildNode
* 失衡节点的右孩子
* @param rightLeftNode
* 失衡节点右孩子的左孩子
*/
private void firstRightChildAdjust(Node rightChildNode, Node rightLeftNode) {
rightChildNode.setParent(rightLeftNode);
rightChildNode.setLeft(null);
rightChildNode.resetHeight();
rightChildNode.resetBF();
}
/*
* 调整失衡节点右孩子的左孩子
*
* @param imbalanceNode
* 失衡节点
* @param rightChildNode
* 失衡节点的右孩子
* @param rightLeftNode
* 失衡节点右孩子的左孩子
*/
private void firstRightLeftAdjust(Node imbalanceNode, Node rightChildNode, Node rightLeftNode) {
rightLeftNode.setRight(rightChildNode);
rightLeftNode.setParent(imbalanceNode);
rightLeftNode.resetHeight();
rightLeftNode.resetBF();
} 第二次左旋的关键代码：/*
* 第二次左旋
*
* @param tree
* AVL树
* @param imbalanceNode
* 失衡节点
* @param rightChildNode
* 失衡节点的右孩子
* @param rightLeftNode
* 失衡节点右孩子的左孩子
*/
private void secondLeftAdjust(AVLTree tree, Node imbalanceNode, Node rightChildNode, Node rightLeftNode) {
Node parentNode = imbalanceNode.getParent();
secondRightChildAdjust(rightChildNode);
secondImbalanceAdjust(imbalanceNode, rightLeftNode);
secondRightLeftAdjust(tree, imbalanceNode, rightLeftNode, parentNode);
}
/*
* 调整失衡节点
*
* @param imbalanceNode
* 失衡节点
* @param rightLeftNode
* 失衡节点右孩子的左孩子
*/
private void secondImbalanceAdjust(Node imbalanceNode, Node rightLeftNode) {
if (rightLeftNode.getLeft() != null) {
imbalanceNode.setRight(rightLeftNode.getLeft());
}
imbalanceNode.setParent(rightLeftNode);
imbalanceNode.resetHeight();
imbalanceNode.resetBF();
}
/*
* 调整失衡节点的右孩子
*
* @param rightChildNode
* 失衡节点的右孩子
*/
private void secondRightChildAdjust(Node rightChildNode) {
rightChildNode.resetHeight();
rightChildNode.resetBF();
}
/*
* 调整失衡节点右孩子的左孩子
*
* @param tree
* AVL树
* @param imbalanceNode
* 失衡节点
* @param rightLeftNode
* 失衡节点右孩子的左孩子
* @param parentNode
* 失衡节点的父节点
*/
private void secondRightLeftAdjust(AVLTree tree, Node imbalanceNode, Node rightLeftNode, Node parentNode) {
rightLeftNode.setParent(parentNode);
if (parentNode == null) {
tree.resetRoot(rightLeftNode);
}
rightLeftNode.setLeft(imbalanceNode);
rightLeftNode.resetHeight();
rightLeftNode.resetBF();
}LR型：
类似RL型，详细代码请参见下面的GitHub源码。
Ref
- 《数据结构（C语言版）--清华大学出版社》
- 《大话数据结构--清华大学出版社》
https://github.com/William-Hai/Balanced-Binary-Tree