斐波那契数列的一些引理和相关题目

斐波那契数列，是一个经典的递推数列。在实际生活中有很多应用。

我们一般都知道它的递推公式：
F[1]=1,F[2]=1,...,F[n]=F[n-1]+Fn-2
或者说通项公式......（这个我是不会，而且一半也用不到）
下面补充一些引理，做题的时候可能会用到。

1、(gcd(F_{i+1},F_i)=1)

证明： 根据更相减损术
(gcd(F_{i+1},F_i))

(=gcd(F_{i+1}-F_i,F_i))

(=gcd(F_{i-1},F_i))

(=gcd(F_i,F_{i-1}))

(=......)

(=gcd(2,1))

(=1)
得证

---

2、(F_{m+n}=F_{m-1}*F_n+F_{m}*F_{n+1})

证明：

(F_{m+n})

(=F_{m+n-1}+F_{m+n-2})

(=2*F_{m+n-2}+F_{m+n-3})

(=3*F_{m+n-3}+2*F_{m+n-4})

(=5*F_{m+n-4}+3*F_{m+n-5})

(=......)

(=F_{a-1}*F_{m+n-a}+F_{a}*F_{m+n-a+1})

设 (k1=a-1,k2=m+n-a+1)

因为

(k1+k2=a-1+m+n-a+1=m+n)

所以

(F_{k1+k2}=F_{k1}*F_{k2-1}+F_{k1+1}*F_{k2})

得证

---

3、(gcd(F_i,F_j)=F_{gcd(i,j)})

---

4、(sum_{i=1}^nF_i=F_{n+2}-1)

证明：

(sum_{i=1}^nF_i)

(=F_2+F_1+F_2+....+F_n-1)

(=F_3+F_2+...+F_n-1)

(=...)

(=F_{n+2}-1)

---

5、(sum_{i=1}^n i imes F_i=n imes F_{n+2}-F_{n+3}+2)

证明：
(sum_{i=1}^n i imes F_i)

(=n imes sum_{i=1}^nF_i-(n-1) imes F_1-(n-2) imes F_2-...-1 imes F_{n-1})

(=n imes sum_{i=1}^nF_i-(sum_{i=1}^{n-1}F_i+sum_{i=1}^{n-2}F_i+...+sum_{i=1}^2F_i+F_1))

(=n imes sum_{i=1}^nF_i-(F_{n+1}-1+F_{n}-1+...+F_4-1+F_1))

(=n imes sum_{i=1}^nF_i-(F_{n+1}+F_{n}+...+F_4+F_3+F_2+F_1-3-(n-2)))

(=n imes sum_{i=1}^nF_i-F_{n+3}+1+n+1)

(=n imes F_{n+2}-F_{n+3}+2)

斐波那契数列经常用在一些结论题里，或者和矩阵快速幂搭配使用。
下面贴上几道相关题目：
萨塔尼亚的期末考试
斐波那契公约数
斐波那契数列
斐波那契
粉樱花之恋

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