bzoj1101 [POI2007]Zap

Description

FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。

Input

第一行包含一个正整数n，表示一共有n组询问。（1<=n<= 50000）接下来n行，每行表示一个询问，每行三个正整数，分别为a,b,d。（1<=d<=a,b<=50000）

Output

对于每组询问，输出到输出文件zap.out一个正整数，表示满足条件的整数对数。

Sample Input

2
4 5 2
6 4 3

Sample Output

3
2

HINT

对于第一组询问，满足条件的整数对有(2,2)，（2,4），（4，2）。对于第二组询问，满足条件的整数对有（6,3），（3,3）。

题解

推导：

令 $a'=left lfloor a/d ight floor,b'=left lfloor b/d ight floor$
$sum_{i=1}^asum_{j=1}^b[ ext{gcd}(i,j)==d]$
$=sum_{i=1}^{a'}sum_{j=1}^{b'}[ ext{gcd}(i,j)==1]$
用莫比乌斯函数的性质把求和的式子换掉，
$=sum_{i=1}^{a'}sum_{j=1}^{b'}sum_{d| ext{gcd}(i,j)}mu(d)$
其中 $d| ext{gcd}(i,j) Leftrightarrow d|i \, ext{and} \,d|j$ ，更换求和指标，
$=sum_{d=1}^{a'}mu(d)left lfloor a'/d ight floor left lfloor b'/d ight floor$
容易知道 $leftlfloor a'/d ight floor$ 单调不上升，且

最多有 $2sqrt{a'}$ 种不同的取值。所以按取值分成 $O(sqrt{n})$ 个段分别处理，一个连续段内的和可以用预处理出的莫比乌斯函数前缀和求出

 1 #include<cstring>
 2 #include<cmath>
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cstdio>
 6 
 7 #define N 50007
 8 using namespace std;
 9 inline int read()
10 {
11     int x=0,f=1;char ch=getchar();
12     while(ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
13     while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
14     return x*f;
15 }
16 
17 int n,m,T;
18 int tot,pri[N],mu[N],sum[N];
19 bool flag[N];
20 
21 void init_mu()
22 {
23     mu[1]=1;
24     for (int i=2;i<=50000;i++)
25     {
26         if (!flag[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
27         for (int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<=50000;j++)
28         {
29             flag[pri[j]*i]=1;
30             if (i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0;break;}
31             else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
32         }
33     }
34     for (int i=1;i<=50000;i++)
35         sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
36 }
37 void solve(int n,int m)
38 {
39     int ans=0,ps;
40     for (int i=1;i<=n;i=ps+1)
41     {
42         ps=min(n/(n/i),m/(m/i));
43         ans+=(sum[ps]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
44     }
45     printf("%d
",ans);
46 }
47 int main()
48 {
49     init_mu();
50     T=read();
51     while(T--)
52     {
53         int a=read(),b=read(),d=read();
54         if (a>b) swap(a,b);
55         solve(a/d,b/d);
56     }
57 }