bzoj 3111 蚂蚁 动态规划

题目描述

在一个 n*m 的棋盘上，每个格子有一个权值，初始时，在某个格子的顶点处一只面朝北的蚂蚁，我们只知道它的行走路线是如何转弯，却不知道每次转弯前走了多长。

蚂蚁转弯是有一定特点的，即它的转弯序列一定是如下的形式：右转，右转，左转，左转，右转，右转…左转，左转，右转，右转，右转。即两次右转和两次左转交替出现的形式，最后两次右转（最后两次一定是右转）后再多加一次右转。我们还知道，蚂蚁不会在同一个位置连续旋转两次，并且蚂蚁行走的路径除了起点以外，不会到达同一个点多次，它最后一定是回到起点然后结束自己的行程，而且蚂蚁只会在棋盘格子的顶点处转弯。

现在已知棋盘大小、每个格子的权值以及左转次数/2 的值，问蚂蚁走出的路径围出的封闭图形，权值之和最大可能是多少。

输入输出格式

输入格式：

在输入文件ant.in 中，第一行三个数n,m,k。意义如题目描述。

接下来一个n 行m 列的整数矩阵，表示棋盘。

输出格式：

一个数，表示蚂蚁所走路径围出的图形可能的最大权值和。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2 5 2
-1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -1 -1

输出样例#1： 复制

-8

说明

【样例说明】

除了第一行的第二个和第一行的第四个都要围起来才至少合法。

【数据规模与约定】

10%的数据所有格子中权值均非负

另20%的数据n=2

另30%的数据k=0

100%的数据1≤n≤100,1≤m≤100,0≤k≤10 保证存在合法路径，数据有梯度，格子中每个元素的值绝对值不超过 10000

P3335 这个题思维难度还是有的。。(至少我是这么想的。。大佬就别吐槽我了)

首先，通过题目描述，我们可以在纸上画一画，可以发现，图像一定是像长城一样的

就是好多个矩形它们的底在一条直线上，高和宽不同，而且，还有一点就是它是高低相间的

而且由右转形成高峰，由左转形成低谷。

那么我们可以枚举图的右下角(i,j)，那么有两种情况：

一:第j-1列和第j列在同一个矩形里；

二:第j-1列和第j列在不同的矩形里；

我们要记录的状态与点(i,j),p(指的是当前枚举的是第p个矩形),h(当前枚举的举行高度为i-h+1)有关

所以用f[i][j][p][h]来记录‘一’情况的状态，用g[i][j][p][h][0/1]来记录‘二’情况的状态

这里0表示上一个矩形高度高于h，1表示低于h；

那么转移就好写了：

f[i][j][p][h]=max(f[i][j-1][p][h],g[i][j-1][p-1][h][p%2])+s[i][j]-s[h-1][j];

对了，这里这个s数组求的是每一列的前缀和，可以在输入中预处理出来，方便计算用；

关于g数组的维护，我们已经维护出f数组的第j列了

那么这一列所在的矩形要么是低谷，要么是高峰，我们都要考虑

->高峰：

g[i][j][p][h][0]=max(f[i][j][p][h-1],g[i][j][p][h-1][0]);

->低谷：

g[i][j][p][h][1]=max(f[i][j][p][h+1],g[i][j][p][h+1][1]);

当然我们可以在计算过程中更新答案，还可以省掉i这一维

因为从方程中就可以看出来i其实没有参与转移

#pragma GCC optimize(2)
#pragma G++ optimize(2)
#pragma GCC target ("avx")
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=120;
const int Inf=1000000001; 
int n,m,k,ans;
int a[maxn][maxn];
int f[maxn][25][maxn];
int g[maxn][25][maxn][2];
int s[maxn][maxn];
void ini()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    //因为有2*k次左转，所以总矩形数就是k*2+1 
    k=k*2+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            s[i][j]=s[i-1][j]+a[i][j];
        }
    }
    //预处理 因为要求最大值，所以边界赋值为-Inf； 
    for(int p=1;p<=k;p++)
    {
        for(int h=1;h<=n;h++)
        {
            f[0][p][h]=-Inf;
            g[0][p][h][0]=-Inf;
            g[0][p][h][1]=-Inf;
        }
    }
}
void dp()
{
    ans=-Inf;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            for(int p=1;p<=k;p++)
            {
                for(int h=i;h>=1;h--)//维护f数组 
                {
                    f[j][p][h]=max(f[j-1][p][h],g[j-1][p-1][h][p%2])+s[i][j]-s[h-1][j];
                }
                //维护g数组 
                g[j][p][1][0]=-Inf;
                //0指当前矩形比下一个高，所以从高到低更新，才可以确保取最大值的矩形一定是高的 
                for(int h=2;h<=i;h++)
                {
                    g[j][p][h][0]=max(f[j][p][h-1],g[j][p][h-1][0]);
                }
                g[j][p][i][1]=-Inf;
                //1指当前矩形比下一个底，所以从低到高更新，才可以确保取最大值的矩形一定是低的
                for(int h=i-1;h>=1;h--)
                {
                    g[j][p][h][1]=max(f[j][p][h+1],g[j][p][h+1][1]);
                }
            }
            //更新答案，因为最后一列一定是高的，所以用0转移； 
            ans=max(ans,max(f[j][k][i],g[j][k][i][0]));
        }
    }
}
int main()
{
    ini();//读入一些数据 
    dp();
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}