Count Primes -- LeetCodes (primality test)

Description:

Count the number of prime numbers less than a non-negative number, n.

思路：这题第一种思路是写一个is_prime函数，来对每一个数验证一次是否是prime。

这个方法在这个题里表现不快，但也是一个学习is_prime函数的机会。

首先，验证一个数是不是prime，只需要用小于它的所有正整数全除一遍看是否能整除就行。实际上，我们只需要试验到sqrt(n)，不需要到n-1。因为假如p * q = n的话，p和q是关于sqrt(n)对称的。

再然后，所有数都可以表示成6 * k + i的形式，其中k为整数，i = -1, 0, 1, 2, 3, 4。当i = 0, 2, 4时该数一定是偶数，不可能是prime。当i = 3时，这个数能被3整除，也不是。因此，若一个数是prime，除了2和3，它一定能被表示成 6 * k +/- 1的形式。

由此，我们获得了一个检测n是否是prime的思路：先验证n能否被2或者3整除。然后验证n能否被不大于sqrt(n)的所有能表示成6 * k +/- 1形式的数整除。

bool is_prime(int n)
{
    if (n <= 1) return false;
    else if (n <= 3) return true;
    else if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0)
        return false;
    for (int i = 5; i * i <= n; i += 6)
        if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0)
            return false;
    return true;
}

接下来介绍这个题里能用到的解法。

思路是我们先使用一个大小为n的数组，然后从2开始，将所有2的倍数全部标记成非prime。然后是3，将所有3的倍数全部标记成非prime。这里要注意的是，因为2 * 3已经在2的倍数那一步标注过了，因此这里从3的3倍开始。到4的时候，因为4已经被标注为非prime了，因此直接跳过。以此类推，将所有i从i倍开始的所有倍数标注为非prime。这个过程一直持续到i等于sqrt(n)。

class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
        vector<bool> tab(n, true);
        for (int i = 2; i * i < n; i++)
            if (tab[i])
                for (int j = i; i * j < n; j++)
                    tab[i * j] = false;
        int res = 0;
        for (int i = 2; i < n; i++)
            if (tab[i]) res++;
        return res;
    }
};