P1962 斐波那契数列

题目背景

大家都知道，斐波那契数列是满足如下性质的一个数列：

• f(1) = 1

• f(2) = 1

• f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 2 且 n 为整数)

题目描述

请你求出 f(n) mod 1000000007 的值。

输入输出格式

输入格式：

·第 1 行：一个整数 n

输出格式：

第 1 行： f(n) mod 1000000007 的值

输入输出样例

输入样例#1： 

5

输出样例#1： 

5

输入样例#2： 

10

输出样例#2： 

55

说明

对于 60% 的数据： n ≤ 92

对于 100% 的数据： n在long long(INT64)范围内。

Solution：

本题算是矩阵加速的模板题，而矩阵加速我好像写过博客，这里稍微提一下我的理解。首先求出线性通项递推式，然后构造矩阵，套用快速幂的思想，便能快速求出第n项了。复杂度是O(r²logn)，其中r为矩阵的边长，显然r越小越好，几乎可以当作一个常数。

好了说说斐波拉契的递推式：F[n]=F[n-1]+F[n-2]，F[1]=F[2]=1。

于是可以构造初始矩阵 egin{bmatrix} F[2]=1 & F[1]=1end{bmatrix} 以及中间矩阵 egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}
最后就是输出特判一下就ok了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define debug printf("%d %s
",__LINE__,__FUNCTION__)
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
ll n;
struct mat{ll a[2][2],r,c;};
il mat mul(mat x,mat y)
{
    mat p;
    memset(&p,0,sizeof(p));
    for(int i=0;i<x.r;i++)
        for(int j=0;j<y.c;j++)
            for(int k=0;k<x.c;k++)
    p.a[i][j]=(p.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;
    p.r=x.r,p.c=y.c;
    return p;
}
il void fast(ll k)
{
    mat p,ans;
    memset(&p,0,sizeof(p));
    memset(&ans,0,sizeof(ans));
    p.r=p.c=2;
    p.a[0][0]=p.a[0][1]=p.a[1][0]=1;
    ans.r=1,ans.c=2;
    ans.a[0][0]=ans.a[0][1]=1;
    int cnt=0;
    while(k){
        if(k&1){ans=mul(ans,p);}
        p=mul(p,p);
        k>>=1;
    }
    cout<<ans.a[0][0];
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin>>n;
    if(n<=2)cout<<1;
    else fast(n-2);
    return 0;
}