P2045 方格取数加强版

题目描述

给出一个n*n的矩阵,每一格有一个非负整数Aij,(Aij <= 1000)现在从(1,1)出发,可以往右或者往下走,最后到达(n,n),每达到一格,把该格子的数取出来,该格子的数就变成0,这样一共走K次,现在要求K次所达到的方格的数的和最大

输入输出格式

输入格式：

第一行两个数n,k（1<=n<=50, 0<=k<=10）

接下来n行,每行n个数,分别表示矩阵的每个格子的数

输出格式：

一个数,为最大和

输入输出样例

输入样例#1： 

3 1
1 2 3
0 2 1
1 4 2

输出样例#1： 

11

说明

每个格子中的数不超过1000

Solution：

　　本题费用流套路题（道道网络流题都是满满的套路啊！）。

　　分析怎么想到费用流：

　　　　首先$k=1$就是sb动规，而当$k>1$就要限制每个点只能选$1$次，这样限制了上下界且带权的最优性问题，直接考虑费用流模型。

　　怎么建模：

　　　　1、拆点肯定是要的，因为有选择次数限制，那么点$i$向$i'$连容量$1$费用为点权的边，又因还能选k-1次，所以再从$i$向$i'$连容量$k-1$费用$0$的边。

　　　　2、对于能转移的一对点$i ightarrow j$，从$i'$向$j$连容量$k$费用$0$的边。

　　以$(1,1)$的入点为原点，$(n,n)$的出点为汇点，因为既保证了一个点权值只会贡献一次，也保证了选了k条路线（最大流一定为k），所以满足正确性，直接跑最大费用最大流就好了。

代码：

/*Code by 520 -- 8.25*/
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define RE register
#define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
#define debug printf("%d %s
",__LINE__,__FUNCTION__)
using namespace std;
const int N=50005,inf=-2139062144;
int n,k,s,t,maxn[N],pre[N],dis[N],tot;
int cnt=1,h[N],to[N],net[N],w[N],c[N];
int maxc,maxf,mp[55][55],id[55][55];
bool vis[N];

il void add(int u,int v,int fl,int co){
    to[++cnt]=v,net[cnt]=h[u],w[cnt]=fl,c[cnt]=co,h[u]=cnt;
    to[++cnt]=u,net[cnt]=h[v],w[cnt]=0,c[cnt]=-co,h[v]=cnt;
}

il bool spfa(){
    queue<int>q;
    memset(dis,128,sizeof(dis));
    dis[s]=0,maxn[s]=1<<30,q.push(s);
    while(!q.empty()){
        RE int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;
        for(RE int i=h[u];i;i=net[i])
            if(w[i]&&dis[to[i]]<dis[u]+c[i]){
                dis[to[i]]=dis[u]+c[i],pre[to[i]]=i,
                maxn[to[i]]=min(maxn[u],w[i]);
                if(!vis[to[i]]) vis[to[i]]=1,q.push(to[i]);    
            }
    }
    return dis[t]!=inf;
}

il void update(){
    int x=t;
    while(x!=s){
        RE int i=pre[x];
        w[i]-=maxn[t],w[i^1]+=maxn[t];
        x=to[i^1];
    }
    maxf+=maxn[t],maxc+=maxn[t]*dis[t];
}

il void init(){
    scanf("%d%d",&n,&k),s=1,t=2*n*n;
    For(i,1,n) For(j,1,n) {
        id[i][j]=++tot,scanf("%d",&mp[i][j]);
        add(id[i][j],id[i][j]+n*n,1,mp[i][j]),
        add(id[i][j],id[i][j]+n*n,k-1,0);
    }
    For(i,1,n) For(j,1,n){
        if(i+1<=n) add(id[i][j]+n*n,id[i+1][j],k,0);
        if(j+1<=n) add(id[i][j]+n*n,id[i][j+1],k,0);
    }
    while(spfa()) update();
    cout<<maxc;
}

int main(){
    init();
    return 0;
}