[Luogu] P2817 宋荣子的城堡

题目描述

saruka有一座大大的城堡！城堡里面有n个房间，每个房间上面都写着一个数字p[i]。有一天，saruka邀请他的小伙伴LYL和MagHSK来城堡里玩耍（为什么没有妹子），他们约定，如果某一个人当前站在i号房间里，那么下一步他就要去p[i]号房间，在下一步就要去p[p[i]]号房间。

为了增加趣味性，saruka决定重新书写一下每个房间的p[i]，以满足：

<1>如果从编号为1-k的某个房间走，按照规则走，必须能走回1号房间。特别的，如果从1号房间开始走，也要走回1号房间。（至少走一步，如果p[1] = 1，从1走到1也算合法）

<2>如果从编号大于k的房间开始，按照规则走，一定不能走到1号房间。

saruka想知道，一共有多少书写p[i]的方案可以满足要求？

题目解析

考虑分治。

1.前k个房间的方案数：

根据Cayley定理（凯莱定理），一个n个点的完全图有n^n-2棵生成树，即在不考虑第一个点连向哪里时方案数是k^k-2。

第一个点可以随意连向前k个点，所以前k个房间方案数为k^k-1。

2.后n-k个房间的方案数：

胡乱连，每个点可以连包括自己在内的n-k个点，所以方案数为n-k^n-k。

总共的答案就是二者的积。快速幂。注意取模。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int p = 1e9 + 7;

long long n,k,ans;

inline long long quick_pow(long long x,long long y) {
    long long res = 1;
    while(y) {
        if(y & 1) res = (res * (x % p)) % p;
        x = (x%p) * (x%p) % p;
        y >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    ans = ((quick_pow(n-k,n-k) % p) * (quick_pow(k,k-1) % p)) % p;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}