密码学系列之:memory-hard函数
简介
Memory hard function简称为MHF，在密码学中，内存困难函数(MHF)是一个需要花费大量内存来完成的函数。MHF主要被用在工作量证明中。因为需要花费大量的内存，所以MHF也会被用在密码Hash中，可以防止恶意破解。
和MHF相识的还有一个MBF（memory-bound function ），叫做内存约束函数，它是通过内存延迟来减慢计算速度，从而产生运算成本。
为什么需要MHF
我们知道应用程序的执行需要两个部分，一个部分是CPU，用来提供计算能力，一个部分就是内存，用来提供存储能力。
以比特币而言，比特币的挖矿其实是反复的计算SHA-2的函数，当其结果足够小的时候，挖矿就成功了。但是对于传统的CPU来说，当任务是反复计算同一个固定函数的时候，效率会非常低。于是矿工们发明了特定了应用集成电路（ASIC）也就是矿机，来大大的提高这种计算效率。从此挖矿就只掌握在矿工或者矿池手里了，因为普通人根本竞争不过他们。
因为SHA-2只是依赖于CPU的，CPU够好，或者使用ASIC针对算法进行优化，就可以超越其他人，获得优势地位。
而随之带来的就是算力无意义的浪费和用电量的激增。这实际上并不是我们想要的。所以需要一种新的算法来改变这个局面。
我们注意到，程序除了CPU之外，还需要使用到内存，而内存相对CPU相比是更加稀缺的资源。举个例子，假如计算一个函数需要1G空间，对于普通人而言，一个8核16G的电脑可以同时计算16个函数。如果你想加快运算，那么就需要提高内存空间，并且速度的提升也不会太明显，所以如果使用内存作为计算的限制，则可以大大减少恶意的运算，从而让加密解密变得相对公平。
所以，我们需要MHF。
Memory hard的评估方法
那么怎么样才叫做Memory hard呢？我们可以从3个方面去衡量，第一个方面就是累计内存复杂度，简称为CMC。在并行模型中，CMC通过将每一步的所有输入相加来衡量内存的难度。
另一个方法就是使用时间和内存的乘积来衡量。还有一个方法就是计算内存总线上内存带宽的消耗，这种类型的函数也叫做bandwidth-hard functions（BHF）。
MHF的种类
根据MHF的评估方式，MHF可以分为两个类型，分别是数据依赖型(dMHF)和数据独立型(iMHF)。
数据依赖型(dMHF)指的是后面计算的数据需要依赖于之前的数据，但是到底需要哪些消息是不确定的。
数据独立型(iMHF)是指后面计算依赖的数据是确定的。
dMHFs的例子是scrypt和Argon2d。iMHFs的例子是Argon2i和catena。
由于MHF的内存特性，所以非常适合用来做密码哈希函数。
因为dMHF是数据依赖型的，所以它比iMHF在密码学上具有更强的memory-hard特性。但是dMHF有一个问题，就是容易受到缓存时序等侧通道攻击。由于这个原因，人们倾向于iMHFs来作为密码加密的算法。
MHF的密码学意义
我们知道MHF主要用来进行密码加密的，主要是为了抵御ASIC（应用集成电路）的破解。上面我们提到了3种衡量方式，这里我们使用时间和内存的乘积来表示。
正常来说，我们给定密码P和盐S，通过Hash函数H来生成结果Tag。
但是对于破解者来说，他们得到的是Tag和S，希望通过各种逆向方式来获得P，如下所示：
在密码哈希的情况下，我们假设密码创建者为每个密码分配一定的执行时间（如1秒）和一定数量的CPU核（如4核）。然后他使用最大的内存量M对密码进行哈希。
那么对于密码破解者来说，他们使用ASIC来破解，假设需要用到的内存区域是A，运行ASIC的时间T由最长计算链的长度和ASIC内存延迟决定。我希望使得AT的乘积最大。从而达到防破解的意义。
通常来说ASIC机子的内存肯定要比普通内存M要小，假设A=aM, 这里 a < 1 。 根据时间权衡原理，内存使用的少了，自然相应的计算时间要变长，假设需要计算C(a)次，那么相应的计算时间要延长到D(a)倍。
我们可以得到下面的最大化公式：
(mathcal{E}_{max }=max _{alpha} frac{1}{alpha D(alpha)})
如果上式中，当a趋近于0的时候， D(a) > 1/a。 也就是说只要使用的内存变小，那么内存和时间的乘积就要比之前的要大，对于这样的函数，我们就叫做memory-hard函数。
memory-hard在MHF中的应用
考虑MHF中的memory-hard的应用，需要在计算密码hash之前，通过内存准备一些初始数据，这些初始化的工作就是memory-hard的本质。
可以将内存数组B[i]的初始化简单概括为下面的步骤：
初始值：$B[0]=H(P, S) $
对于内存数组中从1到t的index j,我们通过下面的方式来初始化：
(B[j]=Gleft(Bleft[phi_{1}(j) ight], Bleft[phi_{2}(j) ight], cdots, Bleft[phi_{k}(j) ight] ight))
其中G是压缩函数，(phi(j)) 是index函数。
根据(phi(j)) 的不同，我们可以将MHF分成两种类型，一种是数据独立类型，也就是说(phi(j)) 的值不依赖于输入的密码P和盐S，那么整个的内存数组B值可以在得到密码和盐之前来构建，并且可以借助于并行运算功能，同时进行计算。
假设一个运算核G占用的内存是总内存的beta倍，那么这一种情况下时间和内存的乘积就是：
(mathcal{E}(alpha)=frac{1}{alpha+C(alpha) eta})
如果(phi(j)) 的值依赖于输入的密码P和盐S，那么我称这种情况叫做数据独立型。这种情况下，不能进行并行计算，假如最终计算的次数是一个平均深度为D的树，那么这种情况下时间和内存的乘积可以表示为：
(mathcal{E}(alpha)=frac{1}{(alpha+C(alpha) eta) D(alpha)})
上面就是MHF的密码学意义。
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