D3D编程必备的数学知识（5）

平面

D3DX平面

在代码中描述一个平面：仅仅需要一个法向量n和常数d就可以了。因此我们就使用一个4D向量（我们记录成(n, d)）来实现它。D3DX库中用如下的结构来定义一个平面：

typedef struct D3DXPLANE
{
#ifdef __cplusplus
public:
    D3DXPLANE() {}
    D3DXPLANE( CONST FLOAT* );
    D3DXPLANE( CONST D3DXFLOAT16* );
    D3DXPLANE( FLOAT a, FLOAT b, FLOAT c, FLOAT d );

    // casting
    operator FLOAT* ();
    operator CONST FLOAT* () const;

    // unary operators
    D3DXPLANE operator + () const;
    D3DXPLANE operator - () const;

    // binary operators
    BOOL operator == ( CONST D3DXPLANE& ) const;
    BOOL operator != ( CONST D3DXPLANE& ) const;
#endif //__cplusplus
    FLOAT a, b, c, d;
} D3DXPLANE, *LPD3DXPLANE;

对照等式（8）可知：这里a, b和c是平面法向量n的成员，d就是那个常数。

点和平面的空间关系

我们判定点和平面的关系主要是利用等式(8)来实现。例如，假设平面(n, d)，我们能判定点p和平面的关系：

假如n·p + d = 0，那么点p与平面共面。

       假如n·p + d >0，那么点p在平面的前面且在平面的正半空间里。

       假如n·p + d <0，那么点p在平面的背面且在平面的负半空间里。

下边的D3DX函数就是利用n·p + d 来判定点和平面的关系的函数：

FLOAT D3DXPlaneDotCoord(

       CONST D3DXPLANE *pP, // 平面

       CONST D3DXVECTOR3 *pV // 点

);

// 测试点相对于平面的位置

D3DXPLANE p(0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f);

D3DXVECTOR3 v(3.0f, 5.0f, 2.0f);

float x = D3DXPlaneDotCoord( &p, &v );

if( x approximately equals 0.0f ) // v在平面.上

if( x > 0 ) // v在正半空间

if( x < 0 ) // v在负半空间

创建平面

我们能通过两种方法创建平面。

第一种方法，直接用指定法线和点创建平面。假设法线n和在平面上的已知点p0,我们就能求出d：

n·p₀+ d = 0

n·p₀ = -d

-n·p₀ = d

D3DX库提供如下函数来完成创建平面的任务：

D3DXPLANE *D3DXPlaneFromPointNormal(

       D3DXPLANE* pOut, // Result.

       CONST D3DXVECTOR3* pPoint, // Point on the plane.

       CONST D3DXVECTOR3* pNormal // The normal of the plane.

);

第二种方法，我们能通过在平面上的3个点创立一个平面。

假如有点p0, p1, p2，那么我们就能得到平面上的两个向量：

u = p₁ - p₀

v = p₂ - p₀

因此我们能通过把平面上的两个向量进行叉乘得到平面的法线。回忆左手坐标系。

n = u × v

Then, -(n · p₀) = d.

D3DX库提供如下函数来完成通过同一平面上的3个点确定一个平面：

D3DXPLANE *D3DXPlaneFromPoints(

       D3DXPLANE* pOut, // Result.

       CONST D3DXVECTOR3* pV1, // Point 1 on the plane.

       CONST D3DXVECTOR3* pV2, // Point 2 on the plane.

       CONST D3DXVECTOR3* pV3 // Point 3 on the plane.

);

变换平面

我们能够通过如下处理来变换一个面（n, d），就象一个4D向量通过乘以它所期望的变换矩阵的逆矩阵一样来达到变换目的。注意平面的法向量必须首先被标准化。

我们能用下面的D3DX函数来完成操作：

D3DXPLANE *D3DXPlaneTransform(

       D3DXPLANE *pOut, // Result

       CONST D3DXPLANE *pP, // Input plane.

       CONST D3DXMATRIX *pM // Transformation matrix.

);

示例代码：

D3DXMATRIX T(...); // Init. T to a desired transformation.

D3DXMATRIX inverseOfT;

D3DXMATRIX inverseTransposeOfT;

D3DXMatrixInverse( &inverseOfT, 0, &T );

D3DXMatrixTranspose( &inverseTransposeOfT, &inverseOfT );

D3DXPLANE p(...); // Init. Plane.

D3DXPlaneNormalize( &p, &p ); // make sure normal is normalized.

D3DXPlaneTransform( &p, &p, &inverseTransposeOfT );

射线（可选的）

设想在游戏中的一个玩家，正用他的枪射击敌人。我们怎么判断子弹是否从一个位置击中另一个位置的目标？一个方法是用一条射线模拟子弹，用一个球体模型模拟敌人。（球体模型只是一个球体，它紧紧的围绕一个物体，从而粗略地表示它的大小。球体模型将在第11章中做更详细的介绍。）那么通过计算我们就能够判定是否射中球体。在这部分我们学习射线的数学模型。

射线

一条射线能用一个起点和方向来描述。射线的参数方程是：

线/面相交

假设一条射线p(t) = p0 + tu 和 一个平面n·p + d = 0，我们想知道射线是否与平面相交，以及相交的交点信息（如果相交的话）。照这样做，我们把射线代入平面方程并且求满足平面方程的参数t，解答出来的参数就是相交的点。

把等式（9）代入平面方程：