数理方程：Fourier变换与卷积

更新：1 APR 2016

关于傅里叶级数参看数理方程：Fourier级数

Fourier变换：

对于满足Dirichlet条件的函数(f(t))在其连续点处定义

(F(omega)=int_{-infty}^{+infty}f(t)e^{-mathrm{i}omega t}dt)

则(f(t))可变换为

(f(t)=dfrac{1}{2pi}int_{-infty}^{+infty}F(omega)e^{mathrm{i}omega t}d omega)

此即Fourier变换，是一种函数空间中的一一映射，记作

(F(omega)=mathscr{F}[f(t)],qquad f(t)=mathscr{F}^{-1}[F(omega)])

Fourier变换的基本性质：

1. 线性

(mathscr{F}[alpha f_1(t)+eta f_2(t)]=alpha mathscr{F}[f_1(t)]+eta mathscr{F}[f_2(t)])

2. 微分性

(1) (mathscr{F}[f’(t)]=mathrm{i}omegamathscr{F}[f(t)])

(2) (dfrac{d}{domega}mathscr{F}[f(t)]=mathscr{F}[-mathrm{i}tf(t)])

3. 积分性

若当(t ightarrow +infty)时，(g(t)=int_{-infty}^tf(a)da ightarrow 0)，则

(mathscr{F}left[int_{-infty}^tf(a)da ight]=dfrac{1}{mathrm{i}omega}mathscr{F}[f(t)])

卷积

卷积为定义在函数空间上的二元运算。对于函数(f_1(t))，(f_2(t))，定义卷积运算(*)

(f_1(t)*f_2(t)=int_{-infty}^{+infty}f_1( au)f_2(t- au)d au)

卷积运算满足交换律、结合律、对加法的分配律。

 

卷积定理

若(f_1(t))，(f_2(t))可以进行Fourier变换，则

(mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=mathscr{F}[f_1(t)]mathscr{F}[f_2(t)])

将卷积运算和乘法运算互换。

在数理方程中可以用来解决较难逆变换的函数——分解因式以简化变换。