[忘记高数]Jacobi矩阵与Jacobi行列式

更新：5 JUN 2016

【向量值函数】(Y= extbf{f}(X): Omegasubsetmathbb{R}^n ightarrowmathbb{R}^m)

可以看作m个分量函数

(y_1=f_1(x_1,x_2,cdots,x_n))

(y_2=f_2(x_1,x_2,cdots,x_n))

……

(y_m=f_m(x_1,x_2,cdots,x_n))

【Jacobi矩阵】

(J extbf{f}(X)=egin{bmatrix} dfrac{partial f_1}{partial x_1} & dfrac{partial f_1}{partial x_2} & cdots &dfrac{partial f_1}{partial x_n} \ dfrac{partial f_2}{partial x_1} & dfrac{partial f_2}{partial x_2} &cdots& dfrac{partial f_2}{partial x_n} \ vdots& & & vdots \ dfrac{partial f_m}{partial x_1} &dfrac{partial f_m}{partial x_2} & cdots &dfrac{partial f_m}{partial x_n}  end{bmatrix} )   记作  (J extbf{f}(X)=dfrac{partial(f_1,f_2,cdots,f_m)}{partial(x_1,x_2,cdots,x_n)})

每行中自变量的下标递增；每列中分量函数的下标递增。是一个m行n列(m imes n)的矩阵。

Jacobi矩阵中每一行看作一个n维向量的话，是该行分量函数的梯度函数。

Jacobi矩阵是向量值函数(f)在(X)点的导数：(Delta Y= extbf{f}(X_0+Delta X)- extbf{f}(X_0)=ADelta X+ extbf{o}(Delta X),qquad A=J extbf{f}(X_0))

【Jacobi行列式】

若向量值函数(m=n)，则其Jacobi矩阵的行列式为Jacobi行列式，记作(dfrac{D(f_1,f_2,cdots,f_m)}{D(x_1,x_2,cdots,x_n)})

如果连续可微函数f在P点的Jacobi行列式不是零，那么它在该点附近具有反函数。