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  • [忘记高数]Hesse矩阵

    更新:5 JUN 2016

    【多元函数Taylor展开】n元函数(y=f(X))在(X_0)点的某个领域(B(X_0,r))内二阶连续可微,则(forall Xin B(X_0,r), exists hetain (0,1)),使得

    (f(X)=f(X_0)+Jf(X_0)Delta X+dfrac{1}{2}(Delta X)^TH(X_0+ hetaDelta X)Delta X)

    其中(Delta X=X-X_0)为n维列向量;

    (Jf(X_0))即(f(X))在(X_0)处的Jacobi矩阵;

    (H(X))为(f(X))在(X)处的Hesse矩阵。

    上面的写法照应Lagrange型余项。当然也可以写成高一阶的Peano型余项形式

    (f(X)=f(X_0)+Jf(X_0)Delta X+dfrac{1}{2}(Delta X)^TH(X_0)Delta X+alpha(Delta X))

    【Hesse矩阵】

    (H(X)=egin{bmatrix} dfrac{partial^2 f}{partial x_1partial x_1} & dfrac{partial^2 f}{partial x_1partial x_2} & cdots &dfrac{partial^2 f}{partial x_1partial x_n} \ dfrac{partial^2 f}{partial x_2partial x_1} & dfrac{partial^2 f}{partial x_2partial x_2} &cdots& dfrac{partial^2 f}{partial x_2partial x_n} \ vdots& & & vdots \ dfrac{partial^2 f}{partial x_npartial x_1} &dfrac{partial^2 f}{partial x_npartial x_2} & cdots &dfrac{partial^2 f}{partial x_npartial x_n}  end{bmatrix} )

    对于n元函数,相当于是n元m=1维向量值函数,其Jacobi矩阵即其梯度向量的转置(见Jacobi矩阵),可以视为其一阶导数;

    那么n元函数的Hesse矩阵相当于其二阶导数。

    【应用】在计算化学中求势能面(能量作为多元函数)中某极值点处的曲面近似时即使用Taylor展开,这时要计算Hesse矩阵。

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