问题：设$A$是$n$阶对合阵,即$A^2 = I_n$.
证明$n - ext{tr}(A)$为偶数,并且$ ext{tr}(A) = n$当且仅当$A = I_n$
证明1：首先我们利用特征值给出一个简单的证明.
由于对合矩阵的特征值一定为1或者-1,而$ ext{tr}(A)$为所有特征值之和,从而$n- ext{tr}(A) equiv 2n ( ext{mod}2)$,从而$n - ext{tr}(A)$为偶数.
而当$ ext{tr}(A) = n$时,所有特征值均为1.从而没有$-1$这个特征值,于是$A+I$可逆.于是由于$(A+I)(A-I) = 0Rightarrow A - I = 0$，从而$A=I$,而当$A=I$时显然$ ext{tr}(A) = n$
下面不利用特征值给出一个证明：
证明2：
我们知道相似的矩阵具有相同的迹,因此我们只需要找一个与$A$相似的矩阵,使得我们容易讨论$A$的迹,那么整个问题就水落石出了.而我们知道相似矩阵就是同一个线性变换在不同基下的矩阵表示,因此,我们的问题转化为对于一个对合变换$T$找一组基,使得$T$在这组基下的矩阵表示尽量简单.下面给出完整的证明.
首先我们有如下熟知的引理
引理：
设$V$是一个$n$维线性空间,$T$是$V$上的一个对合变换.则
[ V = ext{Ker}(T-I) oplus ext{Ker}(T+I) ]
其中,$I$代表空间$V$上的恒同变换.
引理的证明放在最后.下面回到原命题
设$V$是一个任意$n$维向量空间,任取$V$的一组基,考虑线性变换$T$,使得$T$在这组基下的矩阵表示为$A$.
由引理,取$ ext{Ker}(T-I)$的一组基${alpha_1,cdots,alpha_k}$,$ ext{Ker}(T+I)$的一组基${eta_1,cdots,eta_{n-k}}$,从而它们构成全空间一组基.
而由于$alpha_i in ext{Ker}(T-I) Longrightarrow (T-I)alpha_i = 0 Longrightarrow Talpha_i = alpha_i$,同理$T eta_i = -eta_i$.
从而$T$在这组基下的矩阵表示为
[B = egin{pmatrix} I_k & 0 \ 0 & -I_{n-k} end{pmatrix} ]
于是由于$A sim B Longrightarrow ext{tr} (A) = ext{tr} (B) = k - (n-k) = -n + 2k$
从而$n- ext{tr}(A) = 2(n-k) $为偶数.因此前一半命题得证.
下面考虑后一半命题,当$ ext{tr}(A) = n$当且仅当$-n + 2k = n Longrightarrow k=n$,于是$ ext{Ker} (T-I) = V$,这时$T$为恒等变换，故$A = I_n$
最后给出引理的证明；
引理的证明：
我们先证明$ ext{Ker}(T-I) cap ext{Ker}(T+I) = { 0 }$,事实上,设$alpha in ext{Ker}(T-I),alpha in ext{Ker}(T+I) Rightarrow (T-I)alpha = 0,(T+I)alpha = 0 Rightarrow 2Ialpha = 0 Rightarrow 2 alpha = 0 Rightarrow alpha = 0$
再证明$ ext{Ker}(T-I) + ext{Ker}(T+I) = V$, 事实上,对于每个$alpha in V$,我们有$alpha = dfrac 12left( (T+I)alpha - (T-I)alpha ight)$, 而$dfrac 12 (T+I)alpha in ext{Ker}(T-I),dfrac 12 (T-I)alpha in ext{Ker}(T+I)$.从而$alpha in ext{Ker}(T-I) + ext{Ker}(T+I)$.这样就证明了引理
注：
事实上，在引理的证明中,我们承认了$2alpha = 0 Longrightarrow alpha = 0$,这对于数域都是成立的.事实上,只要域的特征不为$2$,该结论都对.