下面的定理是人们熟知的.
$n$阶矩阵$A$可对角化等价于$A$的极小多项式$p_A$互不相同一次式的乘积,下面给出一个很简单的证明.
若$A$可对角化，设$A$的特征多项式为$(x-c_1)^{k_1}cdots(x-c_l)^{k_l}$.故$A$相似于$B = egin{pmatrix} c_1I_{k_1} & cdots & cdots \ cdots & cdots & cdots \ cdots & cdots & c_lI_{k_l} end{pmatrix}$.从而对于多项式$f in mathbb{K}[x],f(B) = egin{pmatrix} f(c_1)I_{k_1} & cdots & cdots \ cdots & cdots & cdots \ cdots & cdots & f(c_l)I_{k_l} end{pmatrix} $.于是显然最小多项式为$(x-c_1)cdots(x-c_l)$.
另一方面,若矩阵对应的线性变换$T$的最小多项式为$(x-c_1)cdots(x-c_l)$,故$A$的全体特征值为${c_1,cdots,c_l}$,于是全体特征子空间为$mathrm{Ker}(T-c_i I)$.于是,可对角化等价于$displaystyle sum_{i=1}^l dim mathrm{Ker}(T-c_i I) = n$.而已知的是$(T-c_1 I)cdots (T-c_lI)=0$.由下面的不等式,这个命题将显然.
对线性变换$T_1,cdots,T_k$有：
[ dim mathrm{Ker}(T_1cdots T_k) le sum_{i=1}^k dim mathrm{Ker}(T_i) ]
而这个不等式其实只需证$k=2$的情况，再用$k-1$次$k=2$的情形即可.而$k=2$的证明也十分容易.它等价于Sylvester不等式：$mathrm{r}(AB) ge mathrm{r}(A) +mathrm{r}(B) - n$.当然也可以直接证明.此处略去.