概率问题总结

1. 给N张扑克牌和一个随机函数，设计一个洗牌算法 [CC150]

关键点：如何保证每张牌等概率地出现在每个位置

 伪码如下

for i in 1…n:
    randomly select a card j from [1,i]
    swap card i with card j

C++实现

void shuffle(vector<int> cards, int n) {
    if (cards.empty()) {
        return;
    }
    srand(time(0));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int j = 1 + rand() % i;        
        swap(cards[i - 1], cards[j - 1]);
    }
}

用数学归纳法证明其正确性：

1. 当N=1时，P（N张牌到任意位置的概率）= 1/N ； 成立

2. 假设当N = k时成立，那么当N=k+1时，我们只需要判断是否满足每张牌到每个位置的概率都是1/N即可。

这里我们对于判断“每张牌到每个位置”分成两大部分，三小部分，看它们的概率是否是1/N。即：

<1> 第k+1张牌到任意位置

由算法可知，当i=k+1时，从1~i中随机选出一个位置j，将其与i位置的元素互换。
由此可知，第k+1张牌到任意位置的概率都是相等的，即都是1/(k+1);
同理可知，<2.1>也得证。即前k张牌到第k+1位置的概率也都是相等的。

<2> 前k张牌到任意位置

　　<2.1> 前k张牌到第k+1位置

　　<2.2> 前k张牌到前k个位置（即前k张牌中任一张牌到前k个位置中的任一位置）

这里需要用到贝叶斯公式，即条件概率。
这里我们要求的实际上是前k张牌中任一张牌X到前k个位置中的任一位置index的概率，如果等于1/(k+1)即得证。
令事件A为这张牌X不被换到第k+1位置处，事件B为牌X被换到前k个位置中的某位置index
已知 P(B|A) = 1/k , P(A) = 1 - (1 / (k+1))
则 P(B) = P(B|A)*P(A) + P(B|~A)P(~A)
　　　　 = 1/k * [1-(1/(k+1))] + 0
        = 1/(k+1)

拓展： 完美洗牌算法  ref

2. 如何等概率地从n个数中随机抽出m个数？[CC150]

变形：如何从1亿个qq号中随机抽出100个qq号？
     如何从一天的query log里随机抽出100个query？

 我们需要保证每个位置都以m/n的概率被取出。【位置：从1-n这所有的数，每个数对应一个位置】

 方法：抽签法

 第 i 个位置以 (m - k)/(n - i + 1) 的概率决定当前数是否选（其中k为前面已经抽出的数的个数）

证明：

第1个位置：被选中的概率为(m - 0)/ (n - 1 + 1) = m/n

第2个位置：(n-m)/n * (m/(n-1)) + (m/n) * ((m-1)/(n-1)) = m/n

...

总之，我们能保证让每个位置被选中的概率都是m/n. 

实现的时候可以p=rand(0, 1), 若p>=(m - k)/(n - i + 1)则选择该数，否则不选。

void chooseEvenly(vector<int>& nums, int m) { // (m - k) / (n - i + 1)
    int n = nums.size();
    int k = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x = rand(1, n - i);
        if (x < m - k) {
            cout << nums[i];
            k++;
        }
    }
}

follow up: 

2.1 如果n大小不确定，如何随机抽出k个数？

变形： 输入的是一个数据流，无法预估其大小

方法：蓄水池采样法   ref

设置一个k大小的蓄水池，对前k个数直接放入蓄水池，从第k+1个数开始，每个数都以 k/i 的概率放入蓄水池并从池里随机替换出一个数。 

伪码：

Init : a reservoir with the size: k
for i= k+1 to N
    M=random(1, i);
    if( M < k)
     Swap the Mth value and ith value
end for 

ref1    ref2

3. 给定一个能够生成0,1两个数的等概率随机数生成器”，如何生成一个产生0,1,2,3的等概率随机数生成器?

 方法：级联法

将两个0,1 随机生成器级联，每次产生两个数，则可能的结果有(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)，分别映 射到0, 1, 2, 3即可

follow up:

3.1 如何用rand7生成rand9?

两个rand7可以产生49种可能，扔掉后面的4种，保留前45个，并平均分成9份。

每次产生一个结果时，假如没落在对应区间中就扔掉，否则根据落在哪个区间判断是0~8中哪个。

3.2 有1枚硬币,以p的概率产生正面，以1-p的概率产生背面，如何利用它产生一个0.5概率的生成器？

将两枚硬币级联，只保留“正反”，“反正”两种结果，其他两种结果扔掉

4. A,B,C三人轮流扔硬币，第一个扔到正面的人算赢，问三个人赢的概率分别为多大？

方法：方程法

对这种n不确定或有可能无限循环的题，可以考虑化大为小、列方程。

P(A) = (1/2)^1  + (1/2)^4 + (1/2)^7 + ... 

P(B) = (1/2)^2  + (1/2)^5  + (1/2)^8 + ... 

P(C) = (1/2)^3  + (1/2)^6  + (1/2)^9 + ... 

所以，

 P(B) = 1/2*P(A) ，P(C) = 1/4 * P(A); P(A) + P(B) + P(C) = 1; 

可得 P(A) = 4/7, P(B) = 2/7, P(C) = 1/7

5. A有n个硬币，B有n+1个硬币，谁丢的正面多谁赢，问A不输的概率？

对前n轮而言，有3种情况：A>B, A<B, A=B.

设P(A>B) = x, P(A == B) = y，由对称性P(A<B) = x，则有2x + y = 1
现在来看B扔最后一个硬币的情况：
• 假如之前A>B，则无论怎么扔，A都不会输，最多平. 概率为x
• 如果A==B,则B扔了正面，A才会输，这是0.5y；则A不输的概率也为0.5y
• 如果A<B，则无论B怎么扔，A都输
所以A不输的概率是：x + 0.5y = 0.5 * (2x + y) = 0.5

 

6. 一个机器人在原点，右边有一个距离为k的点，机器人以p的概率右移一步，1-p概率左移一步， 问经过M步机器人处于k点的概率?

k步右移，剩下的M - k步一半左移一半右移，所以

若 M<k 或 (M - k)%2 == 1 ，则概率为0

其他情况下：M中选k + (M-k)/2步的概率

7. 扔硬币直到连续两次出现正面，求扔的期望次数

 假设期望次数是E，我们开始扔，有如下几种情况：
• 扔到的是反面，那么就要重新扔，所以是0.5*(1 + E)    【从头来过，递归的继续扔，从这时起期望仍是E】
• 扔到的是正面，再扔一次又反面了，则是0.25*(2 + E)
• 扔连续两次都是正面，结束，则是0.25*2
所以递归来看E = 0.5*(1 + E) + 0.25*(2 + E) + 0.25*2，解得E = 6