概率期望dp入门题---游戏

题目

Alice 和 Bob 两个人正在玩一个游戏，游戏有很多种任务，难度为 p 的任务（p是正整数），有 1/(2^p) 的概率完成并得到 2^(p-1) 分，如果完成不了，得 0 分。一开始每人都是 0 分，从 Alice 开始轮流做任务，她可以选择任意一个任务来做；而 Bob 只会做难度为 1 的任务。只要其中有一个人达到 n 分，即算作那个人胜利。求 Alice 采取最优策略的情况下获胜的概率。
输入格式
一个正整数 n ，含义如题目所述。
输出格式
一个数，表示 Alice 获胜的概率，保留 6 位小数。
样例数据 1
输入
1
输出
0.666667
备注
【数据范围】
对于 30% 的数据，n≤10
对于 100% 的数据，n≤500

我们选择倒推（感觉好多期望概率dp都要倒推啊）

用a[i][j]表示Alice有i分Bob有j分时Alice的获胜概率

那么就有4种可能

Alice完成，Bob未完成；Alice未完成，Bob完成；两人都完成；两人都未完成；

可以得到递推式

a[i][j]=max((a[l][j]/k/4+a[l][j+1]/k/4+a[i][j+1]∗(k∗2−1)/k/4)/(1.0−1.0∗(k∗2−1.0)/k/4)|0<=i<=n−1；0<=j<=n−1）$$a[i][j]=max((a[l][j]/k/4+a[l][j+1]/k/4+a[i][j+1]\ast (k\ast 2-1)/k/4)/(1.0-1.0\ast (k\ast 2-1.0)/k/4)|0<=i<=n-1；0<=j<=n-1）$$

其中

l=k+i$$l=k+i$$

k=1;k/2<=n;k<<=1$$k=1;k/2<=n;k<<=1$$

k是枚举Alice选择不同任务赢后的分数

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a[505][505];
int n;
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    a[n][i]=1;
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
    for(int j=n-1;j>=0;j--)
    {
        double maxn=0;
        for(int k=1;k/2<=n;k<<=1)
        {
            int l=k+i;
            if(l>n) l=n;
            double tmp=(a[l][j]/k/4+a[l][j+1]/k/4+a[i][j+1]*(k*2-1)/k/4)/(1.0-1.0*(k*2-1.0)/k/4);
            if(tmp>maxn) maxn=tmp;
        }
        a[i][j]=maxn;
    }
    printf("%lf",a[0][0]);
}