发现根本不会。。复习一下
1.卷积
狄利克雷卷积
[(f * g)(n) = sum_{d|n}f(d)g(frac {n} {d})
]
2.定义数论函数
[epsilon(n) = [n == 1]
]
[id(n) = n
]
[1(n) = 1
]
[varphi(n) = sum_{d|n}1
]
性质
[sum_{i = 1}^{n} [(n, i) = 1]* i = frac{[n = 1] + n * varphi(n)}{2}
]
积性函数的点积和狄利克雷卷积也是积性函数
3.常见的数论函数卷积
[varphi * 1 = id
]
[mu * 1 = epsilon
]
[mu * id = varphi
]
[1 * 1 = sigma
]
[id * 1 = sigma_0
]
[epsilon * f = f
]
注:
[d(n, m) = sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[gcd(i, j) = 1]
]
4.mobius反演
形式一
[g = f * 1
]
[f = g * mu
]
形式二
[g(n) = sum_{n|d}f(d)
]
[f(n) = sum_{n|d}mu(frac{d}{n})g(d)
]
5.例子
[sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}gcd(i, j) ^ k
]
枚举(d)
[sum_{d=1}^{n} d^k sum_{i=1}^{frac{n}{d}} sum_{j=1}^{frac{m}{d}} [gcd(i, j)=1]
]
有
[sum_{d|n} mu(d) = [n = 1]
]
代入可以交换求和顺序 并且计算倍数可以得到
[sum_{d=1}^{n} d^k sum_{e=1}^{n} mu(e) frac{n}{de} frac {m}{de}
]
设(D = ed)
[sum_{D=1}^{n} sum_{d|D}d^k mu(frac{D}{d}) frac{n}{de} frac {m}{de}
]
记(f(D) = sum_{d|D}d^k mu(frac{D}{d})) 为积性函数
[f(D) = prod_{p_i}f(p_i^{x_i})
]
[= prod_{p_i} p_i^{kx_i}mu(1) + pi^{k(x_i-1)} mu(pi)
]
[= prod_{p_i} p_i^{k(x_i - 1)}(pi^k-1)
]
线性筛就好了