多重背包的二进制拆分法

在多重背包的直接拆分法中，个数为$c[i]$的物体被拆成$c[i]$种不同的物体

这样就使得物体的种类增加了很多，使得算法效率很低。

上述方法把$c[i]$拆成$c[i]$个1，于是任意选择可以表示出$1$到$c[i]$之间的所有数，从而达到多重背包的目的

想到，从$2^0,2^1,2^2,...,2^k$任意选择可以表示出$1$到$2^{k+1}-1$之间的所有数

于是就有了二进制拆分法 ：

首先找到最大的$k$，使得$sum_{i=0}^{k}2^i<=c[i]$

令$t=sum_{i=0}^{k}2^i$，易知，上面$k+1$个数可以组成$1$到$t$之间的任何数

那$t+1$到$c[i]$之间的数怎么表示呢？

令$p=c[i]-t$，再拆出一个p，就可以了，理由如下：

$c[i]=p+t,c[i]-1=p+t-1...$依次类推

由于$1$到$t$已经被表示，所以这样一来$1$到$c[i]$之间的每个整数都可以被表示

具体来说，就是把数量为$c[i]$的物体分为$k+2$个,它们的体积分别为$2^0*v[i],2^1*v[i],...,2^k*v[i],p$

Code:

是$POJ1742Coins$的代码，虽然会TLE，就当打了个二进制拆分法的板子叭

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define Ri register int
#define il inline
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define go(i,a,b) for(Ri i=a;i<=b;i++)
#define yes(i,a,b) for(Ri i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=101,M=100001;
int n,m,t,p,ans,a[N],c[N];
bool f[M];
il void calc(int x)
{
    t=1,p=0;
    while(t<=x){t+=(t<<1);p++;}
    t=x-t/3;p--;
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)&&n)
    {
        mem(f,0);ans=0;
        go(i,1,n)scanf("%d",&a[i]);
        go(i,1,n)scanf("%d",&c[i]);
        f[0]=1;
        go(i,1,n)
        {
            calc(c[i]);
            go(j,0,p)
            {
                int q=1;if(j)q*=2;
                yes(k,m,a[i]*q)
                f[k]|=f[k-a[i]*q];
            }
            yes(k,m,t)f[k]|=f[k-t];
        }
        go(i,1,m)if(f[i])ans++;
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}