二元一次不定方程和最大公约数笔记

 问题描述：

     1)求满足ax+by=gcd(a,b)的x，y整数解。

     2)形如ax+by=gcd(a,b)的二元一次不定方程有没有整数解

     3)如果有解，如何求解

     4)有多少个解，能否用一个公式来形式化描述所有解。

     5)用计算机求解

     求解22x+60y=gcd(22,60)=2；

     首先利用欧几里得算法求解gcd(22,60)。如下

     设a=60，b=22.

    a=60=2*22+16;  移项： 16=a-2*22=a-2b;

    b=22=1*16+6;   移项：  6=b-16=b-(a-2b)=3b-a;

    16=2*6+4;         移项：4=16-2*6=a-2b-2*(3b-a)=3a-8b;

     6=1*4+2;          移项：  2=6-1*4=3b-a-(3a-8b)=11b-4a;

     4=2*2+0;

    

     最终得到2=11b-4a=-4*60+11*20.因此x=11，y=-4。

     将x=11，y=-4代回原方程，验证结果是否正确:11*22+60*（-4）=242-240=2。结果正确。

    

   事实上，形如x=11+60k,y=-4-22k都是22x+60y的解。验证一下:

   22*（11+60k）+60(-4-22k)=242+22*60k-242-60*22k=2。

  因此，x=11+60k，y=-4-22k。确实是22x+60y=gcd(22,60)的解

   

接下来，很重要的一个问题就是，形如 x=11+60k,y=-4-22k的解是否涵盖22x+60y=2的所有解。

    

线性方程定理 ：

　　设a,b是一个非零整数，g=gcd(a,b)。方程ax+by=g.至少有一个解(x1,y1)。且其他解可由(x1+k*a/g,y1-k*b/g)得到。

  

算法描述

　　Extended-euclid(a,b)

        if b=0

            return (a,1,0);

        (d1,x1,y1)=extended-euclid(b,a mod b)

        (d,x,y)=(d1,y1,x1-(a/b)y1)

        return (d,x,y)

参考资料:

   数论概论第6章

   算法导论第31章