matlab 求解线性方程组之LU分解

线性代数中的一个核心思想就是矩阵分解，既将一个复杂的矩阵分解为更简单的矩阵的乘积。常见的有如下分解：

LU分解：A=LU，A是m×n矩阵，L是m×m下三角矩阵，U是m×n阶梯形矩阵

QR分解:

秩分解:A=CD  ,  A是m×n矩阵，C是m×4矩阵，D是4×n矩阵。

奇异值分解：A=UDV^T

谱分解：

在求解线性方程组中，一个核心的问题就是矩阵的LU分解，我们将一个矩阵A分解为两个更加简单的矩阵的复合LU，其中L是下三角矩阵，U是阶梯形矩阵。下三角矩阵和上三角矩阵具有非常良好的性质：Lx=y 或者Ux=y 很容易求解。

问题1.对于任意的矩阵A，是否存在LU分解？

 定理：如果A行等价于阶梯形矩阵U，那么(E_nE_n-1......E₁)A=U，其中的E_i，i=1,2,.....,n是高斯消去矩阵，他们都是下三角矩阵，并且都可逆。

 这个定理告诉我们三件事：

  1.并不是所有的矩阵都有LU分解的。

  2.A=LU=(E_nE_n-1......E₁)^-1U=(E_1^-1E_2^-1.....E_n^-1)U。

  3.这个定理还给出了求解矩阵A^-1的一种方法。

数值算法1.Gauss消去

用Gauss消去法将矩阵A行变换为U：

   

用Gauss消去矩阵将A行变换为U:

数值算法2.Gauss-jardon

    过程和Gauss-jardon基本一致，之不多在选择完最大元之后，将其化为1，这样就可以通过乘以一个倍数来消去其他行了。

选择主元

   当对某一列进行Gauss消去时，一般都是选择这一列中绝对值最大的一个元素作为主元，当然这会进行行交换。其好处有一下几点：

1.在Gauss会代的过程中，不会出现除数为0的情况。

2.减少误差传播，这主要是因为乘数小于等于1.

  (为何乘数小于等于1，如果选择这一列中绝对值最大的一个元素作为主元,我们假设这个元素是a，那么乘数等于-b/a，此时|b/a|<=1)。

为什么不用绝对值最小的元素做主元？易知此时乘数的绝对值大于等于1,会增加误差的传播累计。

为什么应该避免用接近于0的数做主元？此时乘数可能非常大，参加如下例子：