51nod

点击查看题目

初看这题，还真的没什么思路（真是惭愧）。

然后看到了这篇论文：传送门

假设要求一个正整数倒数的循环节，其实最后是要求解一个最小的x满足  10^x=1(mod C)

10x≡1(modC)

如果gcd(10,C)!=1的话，显然无解。如果存在解的话，根据欧拉公式，那么这个解 x|phi(C)，所以直接暴力枚举x就好了。

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int phi(int m) {
    int ans = m;
    for(int i=2; i*i<=m; i++) {
        if(m%i==0) {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while(m%i==0) m /= i;
        }
    }
    if(m>1) ans = ans / m * (m - 1);
    return ans;
}
int fp(int a, int n, int p) {
    int r = 1;
    while(n) {
        if(n&1) r = r * a % p;
        a = a * a % p;
        n >>= 1;
    }
    return r;
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    int ans = 0, cnt = 0;
    for(int p=7; p<=n; p++) if(__gcd(10, p) == 1) {
        int phn = phi(p);
        for(int i=1; i<=phn; i++) {
            if(phn%i == 0 && fp(10, i, p) == 1) {
                if(i>cnt) {
                    cnt = i;
                    ans = p;
                }
                break;
            }
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

x≡1(modC)