卡方分布的基本性质
的矩生成函数
![{M_1}(t) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_0^\infty {{e^{tx}}({x^{ - \frac{1}{2}}}.{e^{ - \frac{x}{2}}})dx}](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%7BM_1%7D%28t%29%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7B2%5Cpi%20%7D%20%7D%7D%5Cint%5Climits_0%5E%5Cinfty%20%20%7B%7Be%5E%7Btx%7D%7D%28%7Bx%5E%7B%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%7D.%7Be%5E%7B%20-%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%7D%29dx%7D%20)
的矩生成函数
的概率密度函数
n=1的卡方分布
它的累积分布函数的定义如下:
F( x) = P {X
x}
而z的概率密度函数为
因此:
因为此密度函数为偶函数
令
,有![dz = d({x^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{2}{x^{ - \frac{1}{2}}}dx](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=dz%20%3D%20d%28%7Bx%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%7D%29%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7Bx%5E%7B%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%7Ddx)
显然这个式子不是闭式的形式,根据原函数定理:
有
根据矩生成函数的定义M(t) = E[etX] 有
根据Gamma函数的定义
令 x =αx 有
* λ - 1 = -1/2, 即 λ = 1/2
* α = (1/2 - t),
代入上式即得到:
Y = X1 + X2 + ...+ Xn
Xi之间相互独立,且服从于X ~ N(0, 1)的正态分布;
所以MY = [MX]n
Gamma分布的一般定义如下:
Gamma分布的概率密度函数依赖α 和 λ两个参数,且对应的矩生成函数为:
现在令λ = 1/2 和 α = n/2 这样就得到了
的矩生成函数,现在将这两个参数代入Gamma分布函数中得到:
考虑到矩生成函数的唯一性,所以上式正是λ = 1/2 和 α = n/2的Gamma分布。
矩,众数
Gamma(λ, α)分布的均值是α/λ, 所以
的均值为n.
Gamma(λ, α)的方差为α/λ²,所以
的方差为2n.
Gamma(λ, α)的众数为(α- 1)/λ,所以
的众数为n - 2.
一些特别的情况
当n=1时,垂直渐近线
当n=2时,为指数分布
卡方分布的可加性
* X~
n
* Y ~m
* X 和 Y相互独立
正态分布样本方差的分布